失諧連續雙跨梁結構振動特性的理論和實驗研究

周盛林　李鳳明

摘要：基于Euler-Bernoulli梁理論建立了雙跨梁結構的動力學模型，采用模態分析方法求解動力學方程，根據邊界條件獲得雙跨梁的頻率方程，由此求解出雙跨梁的固有頻率，以此為基礎進一步得到結構各點的時間響應歷程曲線。針對雙跨梁的兩跨長度不等長造成的結構尺寸失諧，分析了不同跨長比對結構振動特性的影響，將理論計算結果與有限元仿真和實驗結果進行比較，得到了較好的吻合。研究結果對于工程領域中失諧雙跨梁結構的動力學分析和設計具有一定的參考價值。

關鍵詞：雙跨梁；失諧；振動特性；實驗研究

中圖分類號：0326；TBl23

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0149-06

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.020

引言

周期多跨梁結構在航空航天、高速列車、土木建筑、機械工程等多個領域都具有廣泛應用，由于多跨梁結構的復雜性，對其動力學行為的研究是動力學與控制領域的難點問題，逐漸受到國內外力學界專家學者的重視。目前為止，針對梁結構的研究大多集中在單跨梁上，對于多跨梁的研究主要集中在周期諧調梁上。周期多跨梁在實際加工制作過程中，由于制造誤差或者實際工程需要，會出現各個子結構尺寸不相等、材料參數差異等各種失諧情況。而失諧多跨梁由于結構的特殊性，對其動力學問題的分析比較復雜，迄今為止，對于失諧多跨梁動力學特性的研究還比較少，因此有必要針對失諧多跨梁結構的動力學特性展開深入研究。

對于諧調和失諧多跨梁振動特性的研究，采用較多的方法是模態展開法、傳遞矩陣法等。Mikata采用模態展開法研究了多跨梁結構的模態正交性，給出了諧調雙跨梁結構動力學響應的計算方法。Li和Song采用模態展開法研究了失諧雙跨梁的振動特性及其控制問題，分析了失諧程度對結構振動行為和控制效果的影響。Li和Wang采用傳遞矩陣方法研究了隨機失諧多跨梁的振動局域化問題，研究發現結構的尺度失諧會導致周期結構的頻率通帶區間變小甚至消失，出現振動局域化現象。基于波傳遞矩陣方法，Bouzit和Pierre[93研究了雙耦合多跨梁中的波動局域化和能量轉化現象，研究發現跨長的小量失諧也會導致振動能量局限在結構的局部區域，并且能量可以在不同的波模態之間轉化。Chen和Wang采用傳遞矩陣法研究了周期Timoshenko梁結構中彎曲波的主動控制問題。

雖然目前對于失諧多跨梁的動力學問題已經有了一些研究結果，但是有關該問題的研究多集中在理論研究上，實驗研究結果還不多見。本文針對失諧雙跨梁結構進行分析研究，基于Euler-Bernoulli梁理論建立雙跨梁的動力學模型，根據邊界條件獲得雙跨梁的頻率方程，求解此超越方程獲得結構的各階固有頻率，進而得到結構的響應時間歷程曲線。采用振動實驗測試技術和有限元仿真方法，對失諧雙跨梁結構的動力學特性進行研究，將所得有限元仿真和實驗結果與相應的理論計算結果進行比較，驗證了理論計算結果的正確性。此外，分析了梁的截面高度及失諧雙跨梁的不同跨長比對結構振動特性的影響規律。

1.結構運動方程的建立和求解

如圖1所示，雙跨梁左右兩端均為鉸支，中間支承也是鉸支。梁截面為矩形，梁截面的高度與寬度分別為h和6，I為梁的截面慣性矩，L₁和L₂分別為雙跨梁的各跨長度，梁的橫截面積為A，材料的彈性模量為E，密度為p。

從表1可以看出，本文的理論解與有限元仿真結果吻合較好，尤其在低頻區域吻合很好，前5階固有頻率的相對誤差在3%以內，從而驗證了本文理論分析方法的可行性。

2.2參數變化對雙跨梁固有頻率的影響

在上述算例的基礎上，進一步研究幾何參數h和各跨不同跨長比（短跨與長跨的比值）對結構固有頻率的影響。表2給出了針對跨長比為0.67時，失諧雙跨梁的固有頻率隨梁高度h的變化情況；表3給出了雙跨梁的固有頻率隨跨長比的變化情況。失諧雙跨梁的固有頻率隨梁截面高度增加而增加，并且增加速度較快，這說明梁的截面高度對其固有頻率影響較大。從表3可以看出，雙跨梁的高度取0.0009m、其他參數不變時，跨比越大，梁的第一階固有頻率越高（跨比為1時對應諧調雙跨梁）。同時可以發現，跨比對雙跨梁的低階固有頻率影響較大，越到高階隨著跨比的變化頻率的偏差率越小。

3.失諧雙跨梁的自由振動分析

3.1理論研究

在上述結構固有頻率研究的基礎上，本小節將采用理論方法對失諧雙跨梁的自由振動特性進行分析研究。失諧雙跨梁的結構和材料參數取值與第2.1節中的取值完全相同。分別計算各跨梁的中點、以及關于中間支撐的對稱點的自由振動時間歷程響應，并進行對比分析。具體計算結果如圖2和圖3所示。

從圖2和3可見，對于各跨梁上的對應點，長跨梁的振幅比短跨梁的振幅大，另外可見，考慮結構阻尼的影響時，隨著時問的增加，雙跨梁的振動響應幅值逐漸降低。同時，短跨梁的振動頻率與長跨梁的振動頻率不一致，短跨梁的振動頻率要高一些。根據圖2和3中的響應曲線可計算出，長跨梁的振動頻率為27.9Hz，短跨梁的振動頻率為64.5Hz。對比表1中雙跨梁結構的各階固有頻率可知，長跨梁主要以整體雙跨梁的第一階固有頻率做自由振動，同時受到二階固有頻率的影響；短跨梁以第二階固有頻率做自由振動，同時也受到一階固有頻率的影響。失諧雙跨梁的這些特殊振動特性在實際工程應用中應該加以注意。

3.2實驗研究

通過上一小節的理論分析可知，失諧雙跨梁的每一跨分別以不同的頻率和振幅做自由振動。為了進一步驗證上面理論分析結果的正確性，本小節將開展失諧雙跨梁的自由振動實驗研究。

實驗模型嚴格按照第3.1節理論研究中的結構和材料參數設計，具體實物模型和實驗裝置如圖4和5所示。其中在雙跨梁模型的支承位置處焊接一個帶有光滑孔洞的圓環，而支承鋼片上的螺桿則穿過圓環，實現了梁可轉動的簡支邊界條件；中間支承和右邊支承將圓環孔洞水平方向留稍大一點空間，即實現了滑動簡支的效果。在實驗過程中，采用LMs公司的力錘進行敲擊，使用具有高穩定性的基恩士（LK-Navigator）激光位移傳感器測試，并記錄測試點的實時位移響應，利用Matlab對所測點實驗數據分析繪圖，并比較分析所得實驗數據。

實驗時需控制好力錘，以較小的力敲擊梁，使梁的變形處于線彈性范圍內，以便實驗結果與理論結果相符，同時需要注意力錘敲擊的方式，防止二次碰撞。安置好光測傳感器，對準測試點，打開信號處理器和計算機，設置好測試通道和測試點數以及數據存儲方式。調整好錘擊角度，開始敲擊。

與3.1節中理論分析相對應，分別取各跨梁中點、以及關于中間支撐的對稱點的時程歷程響應進行測試分析，具體實驗結果如圖6和7所示。由圖6和7可見，對于兩跨梁上的對應點，顯然長跨的振幅比短跨的振幅大，并且短跨的振動頻率與長跨的振動頻率不一致。各跨梁以某階頻率做振動，同時受到另外一階頻率的影響。通過分析圖6和7可知，長跨梁和短跨梁的振動頻率分別為26.3Hz和62.1Hz，與第3.1節中的理論計算結果（27.9Hz和64.5Hz）吻合較好，從而驗證了理論分析結果的正確性。

此外，由圖6和7還可以看出，實驗測得的結構時間歷程響應曲線隨著時問的增加，響應幅值逐漸衰減，主要原因是實驗試件雙跨梁簡支處的摩擦產生了阻尼，以及實驗過程中存在結構阻尼和空氣阻尼等。同時可以發現，結構響應幅值降低的程度與考慮了結構阻尼效應的理論計算結果（圖2和圖3）吻合較好。

5.結論

針對失諧連續雙跨梁結構的自由振動問題進行了理論和實驗研究，理論分析結果與有限元仿真和實驗結果吻合較好。通過研究表明，本文理論分析方法具有較高的精確度，計算量也比較小，能夠更加簡單直接地在本論文基礎上進行結構的優化設計。通過分析研究，可以得到如下結論：

（1）失諧雙跨梁的固有頻率隨梁截面高度的增加而增加，并且增加速度較快；不同跨長比下，比率越大，梁的一階固有頻率越高。

（2）跨長比對雙跨梁的低階固有頻率影響較大，越到高階，跨長比的變化對結構固有頻率的影響越小。

（3）對于各跨梁的對應點，長跨梁的自由振幅幅值比短跨梁的大；短跨梁和長跨梁分別以不同的頻率做自由振動，短跨梁的振動頻率要高一些。

（4）理論和實驗分析表明，長跨梁主要以整體失諧雙跨梁的第一階固有頻率做自由振動，同時受到二階固有頻率的影響；短跨梁以整體結構的第二階固有頻率做自由振動，同時受到一階固有頻率的影響。

本文的研究結果和方法對于工程領域中失諧雙跨梁結構的動力學分析和設計具有一定的參考價值。