平面P波作用下半空間中三維洞室的動力響應

梁建文　胡淞淋　劉中憲　巴振寧

摘要：采用一種高精度間接邊界積分方程法求解了平面P波入射下彈性半空間中三維洞室的動力響應。在精度檢驗基礎上，以圓球形洞室為例，對地表位移動力響應和洞周動應力集中特征進行計算分析，并將三維模型解答同相應二維模型解答進行比較。研究表明，半空間中三維洞室周圍波動特征十分復雜，位移和應力峰值及其空間分布特征強烈依賴于入射波頻率、方向和洞室埋深。總體上，三維洞室上方地表位移放大效應要弱于二維情況，除個別頻率外，標準化位移幅值在3.0以下；三維球形洞室X-Z截面內周向應力空間分布特征接近于二維情況，動應力集中幅度略大于后者。三維地下洞室對波的散射應該建立三維模型進行計算分析。

關鍵詞：平面P波；洞室；散射；間接邊界積分方程法；動應力集中

中圖分類號：0347.4；U453.2

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0155-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.021

引言

彈性波作用下地下洞室的動力響應一直是地下工程中引人關注的研究課題，問題可采用解析法或數值法求解。文獻[1]采用波函數展開法研究了全空間中二維洞室在彈性波入射下的動應力集中問題。隨后，文獻[2]將解答推廣到半空間，采用波函數展開法研究了平面SH波在半空間中二維洞室周圍的散射問題。文獻[3]采用漸進匹配法研究了平面SH波入射時地下二維洞室周圍的動力響應問題。文獻[4]利用直接邊界元法研究了二維洞室對彈性波的動應力集中問題。文獻[5]采用一種特殊的直接邊界元法，研究了彈性半空間無限長地下洞室對斜入射體波和表面波的散射問題。考慮到天然土體的成層特性，文獻[6]利用間接邊界元法給出了彈性層狀半空間中地下二維洞室對入射平面P波的散射解答，文獻[7-8]采用相同方法，進一步研究了彈性層狀半空間中無限長洞室對斜入射平面SH波的三維散射問題。

值得注意的是，以上的研究多建立二維或二維半模型進行求解，而對于半空間中三維洞室，目前的研究還比較少。文獻[9]采用T-矩陣法研究了Rayleigh波入射下球形洞室附近地表位移響應。文獻[10]采用直接邊界單元法給出了球形洞室對SH波和Rayleigh波的散射。文獻[11]則采用間接邊界元法研究了層狀彈性半空問中三維洞室對彈性波的散射問題。

近年來，一種間接邊界積分方程法在彈性波散射領域取得了廣泛的應用。文獻[12-13]采用該方法研究了半空間中二維洞室對平面波的散射，文獻[14]研究了三維凹陷地形對地震波的散射。本文基于該方法，結合半空間力源格林函數，求解了彈性半空問中三維洞室對平面P波的散射問題，通過與現有結果的對比，驗證了方法的精度。在此基礎上，將三維洞室解答同二維洞室解答進行了對比分析，從地表位移動力響應和洞室周邊動應力特征兩方面分別闡述了三維和二維模型存在的異同，并探討了三維球形洞室對P波的散射特征。

1.計算模型。

如圖1所示，半空間中球形洞室，半徑為a，球心位于O1處，洞室埋深為d，入射波為平面P波，其人射角為θ。假定半空間介質為均勻、彈性和各向同性，剪切模量為u，拉梅系數為γ，介質中的橫波和縱波波速分別為Cs和Cp，相應波數分別為Ks和Kp。根據本文方法，對問題求解時需引入虛擬波源面S，形狀與洞室表面S一致，半徑為Ro。

2.計算方法

本文采用的間接邊界積分方程法是在邊界附近設定虛擬波源面，散射波由虛擬波源的作用疊加而得，繼而由邊界條件建立方程求解得到虛擬波源的幅值。針對本文問題，首先計算自由場響應，然后求解三維半空間力源格林函數，將其作為模擬散射場的基本解，并由洞室表面零應力邊界條件確定力源幅值，最后疊加自由場和散射場響應，求得總波場。

2.1基本解

半空間力源格林影響函數是指在半空間（無洞室存在）內部作用一個集中力時，半空間中任一點的動力響應。本文參考Lamb的求解思路，采用全空問疊加的方法，結合積分變換，在柱坐標系下求解了彈性半空問中作用三個方向力源的格林影響函數。

具體方法為：引入勢函數，將穩態動力平衡方程轉化為由勢函數表示的波動方程，再將方程中所有參量對θ1，進行傅里葉變換以及Hankel變換，得到方程在波數域內的通解。然后，根據作用力平面位移和應力連續的邊界條件，分別求得在地表對稱位置處，兩個同樣大小埋深力源的全空間動力響應，并將二者在地表處進行疊加，所得殘余應力反向加載到地表上，采用相同邊界條件，求得地表作用力下的動力響應。最后將兩部分的動力響應進行疊加，再對其進行Hankel和傅里葉的逆變換，得到頻域內三維彈性半空間中埋置力源的格林影響函數。