磁場中旋轉圓板的磁彈性行波動力學分析

胡宇達　施紅勃

摘要：研究磁場作用下導電旋轉圓形薄板的行波動力學特性問題。根據哈密頓原理推導出磁場作用下旋轉運動圓板的磁彈性振動控制方程，根據邊界條件設定行波特性振型函數，應用伽遼金積分得到了行波動力學特征方程。通過算例分析旋轉運動圓板在磁場作用下的前、后行波振動頻率變化和各階模態的臨界轉速與振動失穩問題，并得到了圓形薄板臨界轉速對應各階模態的變化規律，分析了不同磁場強度對各階模態振動頻率的影響曲線和不同振動模態阻尼的變化曲線，以及相同磁場作用下旋轉圓板厚度變化對振動頻率和臨界轉速的影響曲線。結果表明：磁場、轉速、板厚等參數對旋轉圓板的行波振動有顯著影響。

關鍵詞：行波動力學；導電圓板；磁彈性；旋轉運動

中圖分類號：0442；0321

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0020-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.003

引言

在實際工程中，旋轉運動和電磁結構在土木、機械以及航空航天等眾多領域的高端設備與運動結構中廣泛存在。在磁場作用下的磁彈性結構，因受機械場和電磁場等多種因素的作用，通常會引發較為明顯的振動現象，從而也會對系統的正常穩定運行產生影響。所以，加強對電磁場條件下旋轉運動結構磁彈性振動問題的研究具有重要理論和現實意義。

旋轉圓板橫向振動是十分復雜的一種振動形式，通常其振動模態帶有節徑陣型，是由兩個轉向相反的前行波和后行波組成，在磁場作用下，隨著轉速的不斷增大，旋轉圓板的后行波頻率將隨之降低，當轉速達到某一臨界值時，其某些振動形態對應的后行波頻率將減小到零，而此刻任意橫向載荷都將致使旋轉圓板出現共振現象，進而引起動力屈曲失穩等狀況的發生。Lainb H和Southwe11 RV等最早研究了中心夾緊旋轉圓板的行波動力學問題，并考慮了彎曲應力與離心力對圓板振動的影響。Gao Yuanwen等研究了導電圓板的電磁熱機械特性，采用分析渦流的T方法獲得了導電圓板的解析解。Hu Yuda等研究了導電薄板在磁場中的組合共振和諧波共振等問題，建立了軸向運動導電板的磁熱彈性耦合動力學理論模型。Allahver-dizadeh A等討論了磁彈性薄板在橫向均勻磁場中的屈曲。chen Yuren和chen Lienwen運用有限元方法分析了旋轉夾層板的非軸對稱振動與穩定問題，討論了不同參數對振動的影響。唐亮等研究了旋轉運動圓環板動態特性的行波解。李龍飛和王省哲等針對含有黏彈性夾芯層旋轉圓板在氣動載荷作用下的行波動力學及穩定性問題進行了研究。趙飛云和洪嘉振等建立了高速旋轉柔性矩形薄板的耦合動力學模型，并應用模態截斷法進行了求解。

本文研究在磁場作用下旋轉圓板橫向振動的行波動力學特性，運用伽遼金方法求解圓板的磁彈性振動方程，分析磁場、轉速、板厚等不同參數對旋轉圓板臨界轉速，以及對前、后行波振動頻率的影響。

1.旋轉圓板的磁彈性振動方程

文中所研究旋轉圓板受橫向磁場B。。的作用，轉速為Ω，圓環板厚度為h，邊界條件為在r=ro處固定并夾緊，在邊緣r=R處保持自由，圓形薄板的模型示意圖如圖1所示。

圖2和3分別給出了在有無磁場作用下，隨著轉速變化，各階模態前行波振動頻率的不同變化。通過圖中曲線可得，當不受磁場影響時，薄板的各階振動模態其振動頻率會隨轉速的增加而呈現近似線性的上升趨勢，這可以歸結為當增大轉速時圓板的剛度會變大，進而圓板離心體力將隨之增大，同時隨振動模態的增加，相應各轉速下的振動頻率也在增大。當受到磁場作用時，曲線的總體走勢和各模態頻率的變化規律雖與無磁場作用時相同，但是因磁場作用，會使得旋轉圓板振動受到磁場阻尼的影響，進而會使得各階模態相應轉速所對應的振動頻率減小，且隨模態的升高，振動頻率降低的幅度會越發明顯。

圖4和5分別給出了在有無磁場作用下，鋁制薄板隨轉速的不同，其各階模態后行波振動頻率相應出現的不同變化。從圖中可以看出，圓板后行波的振動頻率除一些較低階模態，如（0，0）階，不存在引起動力失穩的臨界轉速之外，對于階次較高的振動模態其振動頻率均會先隨著轉速的增大而降低直至達到零值，而后將隨著轉速的增大而逐漸增大，該零值位置所對應的轉速即為臨界轉速。在受到磁場作用時，各階模態的整體振動頻率均會降低，并且隨振動模態階次的升高，其頻率降低的幅度也會增大。此外，雖然磁場會影響圓板的振動頻率，但其不會對引起動力失穩的臨界轉速產生影響；同時，圖6則給出了各階模態所對應的臨界轉速，由圖可得，各階模態的臨界轉速會先減小后增大，在（0，2）階值為最小，之后會以近似線性的關系上升。度對振動頻率的影響。由圖可得，對于每階振動模態而言，其臨界轉速不會隨磁感應強度的增大而發生變化，即在磁場作用下，每一階振動模態均對應唯一臨界轉速值；同時當n≥2時，其臨界轉速也會隨模態階次的增加而增大。（0，0）模態時，其頻率隨轉速的增大而變化很小，幾乎為不變，而當磁感應強度足夠大（B≥7T）時，頻率將無限接近于0，此時圓板可認為是不發生振動，同樣，由圖中各對應模態其頻率的幅值可知。當n≥2時，各階模態隨階次的升高其受到磁場作用的靈敏度會相應增大，當磁場增強時，模態越高，其頻率降低的幅度會越快。當磁場達到某一強度時，轉速為零，所對應的固有頻率也會降為零。隨著轉速的增大，其固有頻率會先增大，之后又減小，直至減小到零，而后會繼續增大。此外，當初始轉速為零時，隨模態的升高，可使其固有頻率降為零的臨界磁場強度逐漸減小。

圖11與12分別給出了B=3T時薄板后行波各階模態阻尼隨轉速的變化情況及發生失穩時的臨界轉速對應值。由圖可得，對于高階模態（n≥2），當磁場達到特定強度后，磁場會對非旋轉圓板產生很大的阻尼，之后當圓板發生轉動的瞬間，阻尼將迅速下降到某一正值，之后會隨轉速的增大而逐漸減小。因各階模態初始時阻尼為正值，此時阻尼會對圓板振動起阻礙作用，并且隨著轉速的增大阻尼逐漸減小，當其減小為負值后，阻尼會對圓板的振動起促進作用，從而導致圓板發生磁彈性振動失穩現象，而阻尼為零所對應的轉速值即為各階模態在磁場作用下的振動失穩臨界轉速。通過對比圖6和12可以得到，使旋轉薄板發生動力屈曲失穩的臨界轉速與發生磁彈性振動失穩的臨界轉速較為接近。

圖13～14給出了在轉速一定的條件下，受和不受磁場作用時，旋轉薄板厚度對后行波振動頻率的影響關系，給定的旋轉速度為Ω=10000r/min，圖13中磁感應強度為B=2T。由圖可得，低階模態（0，0），（0，1）所對應的頻率會隨圓板厚度的增大而增大，而對于高階模態（n≥2），其后行波頻率會隨著厚度的增大先減小到零值而后增大。出現這一情況原因是在轉速和磁感應強度一定時，旋轉圓板頻率會隨著厚度的變化而變化，且只有達到某一特定厚度時才會使圓板頻率降為0，即達到臨界轉速。當磁感應強度B=2T時，低階模態不存在臨界轉速，旋轉圓板各階模態的臨界轉速值會隨板厚的增加而呈線性增大，這主要是因為隨著圓板厚度的增大使圓板彎曲剛度相應增強，進而相應的模態頻率會增大，臨界轉速也會隨之增大。圖15給出了在磁場強度B=2T時，圓板高階模態（n≥2）隨厚度變化其臨界轉速的變化曲線。

4.結論

本文主要對磁場中旋轉圓板的橫向振動問題進行了研究，首先推導出磁彈性振動方程，然后通過伽遼金積分求解出圓形薄板的橫向振動方程，進而分析了在磁場作用下旋轉圓板的行波動力學特性。結果表明：（1）行波振動頻率會隨著磁場的增大而減小，且磁場強度不會影響后行波振動的臨界轉速。（2）受磁場影響，高階模態（n≥2）阻尼會隨轉速的增大而降低，當降至負值后，圓板會發生磁彈性振動失穩現象，且當磁場強度足夠大時，會使非旋轉圓板產生較大阻尼，而隨著圓板轉速的增大，阻尼會迅速減小。（3）在磁場作用下，圓板后行波低階模態的振動頻率會隨厚度的增大而增大，且各階模態臨界轉速也會隨厚度的增加呈線性的增大。