分數(shù)階Duffing振子的組合共振

顧曉輝　楊紹普　申永軍　劉進志

摘要：研究了2個諧波激勵作用下含分數(shù)階微分項的Duffing振子的一類組合共振，利用多尺度法得到了2ω1+ω2型組合共振的一次近似解析解，分析了定常解的穩(wěn)定性。應用奇異性理論研究了幅頻響應分岔方程，得到了開折參數(shù)平面的轉(zhuǎn)遷集和所有區(qū)間上分岔曲線的拓撲結(jié)構(gòu)。最后通過數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)參數(shù)對組合共振幅頻響應的影響。研究表明：分數(shù)階微分項即具有阻尼特性又具有剛度特性，選擇合理的分數(shù)階微分項參數(shù)可以有效改善系統(tǒng)的響應特性。

關(guān)鍵詞：Duffing振子；分數(shù)階微分；組合共振；多尺度法；奇異性理論

中圖分類號：0322；0313

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0028-05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.004

引言

分數(shù)階微積分發(fā)展至今已有超過300年的歷史，近些年來，基于眾多學者在其定義、性質(zhì)、計算方法等方面的不懈努力，分數(shù)階微積分正逐步由抽象的數(shù)學概念走向工程應用，尤其在描述黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系方面和控制工程領(lǐng)域深受關(guān)注。

在動力學方面，目前主要集中于含分數(shù)階微積分項的動力系統(tǒng)振動特性的研究，wahi應用平均法研究了含分數(shù)階阻尼項的非線性時滯系統(tǒng)的響應特征，發(fā)現(xiàn)了一些分數(shù)階系統(tǒng)的特有現(xiàn)象。shen提出了等效線性阻尼和等效線性剛度的概念，分析了含分數(shù)階微分項的線性、非線性振子的動力學響應。Rossikhin基于R-L定義，應用多尺度法推導了Duffing振子的二階近似解，并指出了一些學者的錯誤觀點。Du研究了一類分數(shù)階微分方程的初值問題及其求解方法。GUO提出一種改進的諧波平衡法得到了分數(shù)階Van der Pol振子的近似解析解。楊建華應用諧波平衡法分析了一類分數(shù)階線性系統(tǒng)在周期信號激勵下系統(tǒng)響應的近似解。chen、孫春燕研究了隨機激勵作用下分數(shù)階Duffing振子的幅頻特性。廖少鍇結(jié)合Newmark法和Zhang-Shimizu法推導了分數(shù)階微分項的數(shù)值計算方法，并研究了含平方非線性分數(shù)階振子的動力學行為。cao采用數(shù)值積分法，結(jié)合相圖、龐加萊截面圖、分岔圖等分析了分數(shù)階阻尼對系統(tǒng)動力學性能的影響。

通過以上分析可發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有文獻大多針對單頻激勵或隨機激勵展開討論，而在實際問題中，許多工程結(jié)構(gòu)或部件會受多頻激勵作用的影響，多頻激勵作用下的系統(tǒng)具有更復雜的動力學特性。

4.系統(tǒng)參數(shù)的影響

在上述分析中，開折參數(shù)落在不同的區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)有不同的動力學行為，可以為系數(shù)設計提供理論指導。然而開折參數(shù)并不是獨立的系統(tǒng)參數(shù)，而是系統(tǒng)參數(shù)的組合，下面通過分析系統(tǒng)的幅頻響應研究系統(tǒng)參數(shù)的影響。

選取一組基本參數(shù)u=1，ωo=1，α=1，β=2，p=0.5，B1=1，B2=2。根據(jù)式（13）可以得到系統(tǒng)響應的幅頻曲線如圖3中L2所示，其中實線為穩(wěn)定解，虛線為不穩(wěn)定解，點線為骨架曲線。無分數(shù)階微分項（即β=0時）的整數(shù)階系統(tǒng)響應的幅頻曲線如圖3中L1所示。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階微分項既影響了系統(tǒng)的剛度特性，使骨架曲線右移，共振頻率增大，又影響了系統(tǒng)的阻尼特性，使共振峰值減小，即分數(shù)階微分項既具有剛度特性又具有阻尼特性，對系統(tǒng)的幅頻響應有重要影響。

圖4給出了分數(shù)階微分項階次對系統(tǒng)幅頻響應的影響。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，p=0時，系統(tǒng)具有最大的共振頻率和共振峰值，即系統(tǒng)的等效剛度最大，等效阻尼最小；而p=1時，系統(tǒng)具有最小的共振頻率和共振峰值，即系統(tǒng)的等效剛度最小，等效阻尼最大。說明當分數(shù)階階次p→0時，分數(shù)階微分項幾乎等同于線性剛度的作用；當p→1時，分數(shù)階微分項幾乎等同于線性阻尼的作用，這與分數(shù)階微分項的本質(zhì)保持一致。

圖5和6給出了線性阻尼系數(shù)和非線性項系數(shù)對系統(tǒng)幅頻響應的影響。從圖中可以看出，與整數(shù)階系統(tǒng)類似，線性阻尼系數(shù)并不影響幅頻曲線的彎曲程度，只影響共振峰值的大小，阻尼越大，峰值越小。而非線性項系數(shù)既影響共振頻率又影響共振峰值，非線性項系數(shù)越大，幅頻曲線越彎曲。與分數(shù)階項系數(shù)不同的是，通過加大非線性項系數(shù)，不會改善系統(tǒng)的響應特性。

5.結(jié)論

本文應用多尺度法和奇異性理論分析了2個諧波激勵作用下含分數(shù)階微分項的Duffing振子的一類組合共振，得到了系統(tǒng)的一次近似解，分析了定常解的穩(wěn)定性。基于幅頻響應，得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應分岔方程的轉(zhuǎn)遷集和對應的分岔圖。通過數(shù)值仿真分析了系統(tǒng)參數(shù)對幅頻特性曲線的影響，研究表明：分數(shù)階微分項即具有阻尼特性又具有剛度特性，選擇合理的分數(shù)階微分項參數(shù)可以有效改善系統(tǒng)的響應特性。