并聯雙振子聲子晶體梁結構帶隙特性研究

吳旭東　左曙光　倪天心　范珈璐

摘要：為使聲子晶體結構實現范圍更寬的多帶隙特性，基于單振子型聲子晶體結構彎曲振動帶隙頻率范圍窄的局限，提出了一種雙側振子布置形式的局域共振聲子晶體梁結構，并基于傳遞矩陣法和有限元法對其進行了無限周期和有限周期的帶隙計算，分析了雙帶隙配合減振的特性；試制了聲子晶體梁樣件并進行傳遞特性試驗，通過仿真計算與試驗結果的對比，驗證了有限元法對有限周期結構帶隙預測的準確性和有效性；最后基于有限元方法探討了周期數和晶格常數對雙振子梁帶隙特性的影響。為并聯式雙振子聲子晶體結構的工程應用提供了理論依據和工程參考。

關鍵詞：聲子晶體；彎曲振動；帶隙；并聯雙振子

中圖分類號：0328；TB535

文獻標志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0079-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2017.01.011

引言

梁狀結構是在工程領域中最常見的一種基本結構形式，梁結構在機械系統中起到連接、承載的作用，同時也是車內結構振動的主要傳遞路徑之一。因此梁狀結構在機械結構的振動與噪聲控制方面是主要的研究對象之一。國內外許多學者針對梁結構的振動（彎曲振動為主）的傳遞特性，采用不同的方法以試圖達到減振降噪的目的。

近20年來，由周期結構逐漸演變的聲子晶體結構的發展對結構的減振降噪提供了新的設計思路。而一維聲子晶體結構作為具有一定振動帶隙的梁狀結構，因而被越來越多地引入到彎曲振動梁的減振設計中。目前研究的聲子晶體帶隙機理有兩種：Bragg散射型帶隙機理與局域共振型帶隙機理，其中局域共振帶隙機理已經在多種聲子晶體結構中得以應用。局域共振聲子晶體借鑒了機械工程領域的動力吸振器的概念，采用懸掛彈性質量（振子）的形式，作為一種工程實踐中最常見結構，學者提出了分布式和連續式動力吸振器，以拓展波形衰減的幅度和頻率范圍，這些結構能夠使得小尺寸結構控制大波長，實現對1000Hz以下的中低頻振動的有效衰減。

此前的研究對懸掛多振子的聲子晶體梁彎曲帶隙進行過分析，但其所提出的實際結構與簡化假設的模型在連接點的位置描述上并不一致；其采用的橡膠環形式彈簧因比較大的材料阻尼影響了振動能量向振子的轉移，未能充分發揮多振子布置拓寬帶隙寬度和分布的潛力。

針對傳統單振子減振帶隙頻帶窄及此前多振子研究中的局限，本文提出了雙振子布置聲子晶體結構，通過不同振子系統在基體梁兩側的對稱布置，能夠有效地組合雙振子形成的獨立帶隙，并仍能完整地保留原單振子系統的帶隙衰減能力。本文基于傳遞矩陣法，分析單振子梁彎曲振動彈性波的傳遞特性的局限，從而設計雙振子結構，結合有限元仿真與試驗測試，驗證了該結構的帶隙特性和有限元法的有效性，最后基于有限元方法探討了周期數和晶格常數對雙振子梁帶隙特性的影響。

1.并聯式雙振子梁彎曲振動帶隙$I-算

1.1基于無限周期的振子梁帶隙計算

本文中采用基于歐拉梁振動假設的傳遞矩陣法計算無限周期的振子梁結構的傳遞特性。擬采用的多振子并聯聲子晶體梁可以如圖1進行簡化。此簡化模型與文獻中提出的形式一致，因此本文中不再贅述對傳遞矩陣的推導，直接給出傳遞矩陣的表達式。

根據Bloch定理，在對4×4的傳遞矩陣T求解特征值時，會產生共軛的兩對特征值，并對應解得2對共軛的波失。參照文獻[14]的做法，本文中選取虛部絕對值最小的波失作為波傳遞特性的表征，對應著在無限結構中能傳遞到最遠的振型。在此種振動模式下帶有非零虛部的波失對應著無法在結構中傳播的特定頻率的彎曲振動波形，即在相應頻率處產生了彎曲振動的帶隙，從而得到聲子晶體梁的傳遞特性。

根據表1的材料和幾何參數，分別對兩種單振子及其組合成的雙振子聲子晶體梁的帶隙進行了數值計算，結果如圖2所示。

由計算結果可以發現，并聯式雙振子聲子晶體梁相較于單振子形成了雙帶隙，拓寬了原有單振子結構的帶隙范圍。

與文獻[10]的計算結果不同的是，因其所選擇的兩種振子（鐵和銅）的差異相對較小，導致計算出的兩個帶隙中較低頻段的帶隙寬帶被嚴重壓縮，導致帶隙與單振子相比沒有太大區別；同時其實際結構的兩種振子的作用力與基體梁的耦合點并非在同一點，只是比較接近，因此也為計算結果帶來一點的誤差。本文中的結構，兩種振子在同一耦合點處產生作用力，且兩種振子的差異較大，因此計算帶隙有了較為明顯的拓寬效應。

1.2基于有限周期的振子梁帶隙計算

實際應用中，不存在無限周期的梁結構，因此本文通過有限元方法分別建立了有限周期的單、雙振子梁結構，采用矩形截面梁，連接彈簧采用線彈性矩形橡膠塊進行模擬。網格單元采用連續三維實體單元C3D8R，仿真中梁為自由梁，在一端施加特定頻率范圍的單位幅值的加速度正弦激勵，在梁的另一端測量加速度響應并計算其頻響函數，即能獲得目標頻段內實際結構對彎曲振動的衰減特性（帶隙結構）。

傳統設計的單振子聲子晶體梁的振子都是布置在基體梁的一側，通過上述的計算結果可知，單振子結構產生的帶隙存在頻帶單一、寬度窄的局限，本文從聲子晶體結構設計角度出發，旨在通過多振子布置實現聲子晶體結構的帶隙拓展。

本文采用兩種振子等晶格常數對稱布置的結構形式，如圖3所示，研究不同的振子布置形式下聲子晶體結構的帶隙特性，參數設置如表1所示。

仿真過程中同時建立兩種單振子梁結構，便于與雙振子結構進行比較，通過有限元計算三種聲子晶體結構在0～1400Hz頻率范圍內的彎曲振動傳遞特性曲線，結果如圖4所示。

由圖4可以看出，三條曲線分別表示單振子梁一、單振子梁二和雙振子梁的加速度頻率響應函數，結果表明這種雙振子對側布置結構能很完整的體現出了兩種振子各自的帶隙特性，很明顯地能夠判斷出頻段較低的帶隙是由振子二的局域共振特性產生，兩者的起始頻率完全一致，帶隙內衰減峰值頻率均為480Hz；頻率較高的帶隙由振子一產生，帶隙內衰減峰值頻率皆為952Hz。

此外，從圖中觀察到雙振子梁的高頻帶隙相比單振子一的帶隙在寬度上有所增加，主要體現為截止頻率的升高，帶隙起止頻率從原本的944～1180Hz拓寬到944～1239Hz，帶隙寬度增加了約60Hz，說明這種雙振子布置形式能對單振子形式下的高頻帶隙起到一定的拓寬作用。

由于兩個帶隙分別由兩種振子產生，其各自的局域共振模態是相互獨立的，因此可以通過對兩個振子的獨立設計，通過振子參數控制兩個帶隙的位置，從而利用多振子布置結構實現聲子晶體梁的多帶隙分布特性。

2.聲子晶體梁傳遞特性試驗

2.1樣件制備及測量

在試驗樣件的制備過程中，關鍵在于確定振子與基體梁的彈簧連接形式。前文對聲子晶體梁帶隙特性的數值仿真和有限元計算的研究中，都將聲子晶體梁的組成材料認為是理想的無阻尼材料，而實際情況下材料的阻尼特性是不可忽略的。

此外在實際應用中橡膠材料的配方眾多，在試驗樣件的設計中難以控制橡膠彈簧的連接剛度，因此本文采用一種新型金屬彈簧作為連接元件，如圖5（a）所示，一方面金屬材料的阻尼因子普遍在-3數量級左右，可視為無阻尼彈簧；另一方面該彈簧規格眾多，選用不同直徑和長度的彈簧，剛度范圍可以從2N/m變化到600N/mm，結合振子塊質量的設定，足以滿足聲子晶體梁減振帶隙設計要求。

試驗樣件利用45號鋼加工制成基體梁與振子塊，利用模具螺旋彈簧作為連接彈簧，所選用的彈簧型號的剛度為K=313.6N/mm，彈簧質量為M_s=0.03kg；聲子晶體梁與振子的結構尺寸參數如表2所示；試驗樣件的晶格常數取為a=0.75cm。

試驗樣件的制備過程中使用502膠粘劑粘貼試件，通過反復擠壓以避免材料粘接處產生空氣泡或裂隙，需至少靜置12小時以保證其完全固化。

試驗中利用激振器產生振動輸入能量對聲子晶體梁進行激振，在數據采集中需要采集聲子晶體梁幾個測點的加速度信號（如圖6所示）。

2.2試驗結果分析

最終通過對獲得的激勵與響應信號進行計算，響應信號與激勵信號之比即為聲子晶體梁的振動傳遞特性，同時將試驗結果與計算結果做比較，如圖7，8所示。

圖7（a），（b）分別給出了試驗測量所得的加速度頻率響應函數、有限元仿真計算下兩種單振子聲子晶體梁在彎曲振動激勵下的傳遞特性曲線以及通過數值仿真模型計算的帶隙結構曲線。對比兩種單振子聲子晶體梁的帶隙計算結果，兩種單振子梁分別在319～552Hz和472～647Hz頻段范圍有一個明顯的振動帶隙，振子一聲子晶體梁在帶隙內的振動衰減量在40dB左右，振子二的衰減量為35 dB左右，無論從振動帶隙的起止頻率或是帶隙內的振動衰減幅值上看，試驗結果與有限元仿真結果的吻合度較高，并且兩者均能很明顯地體現出數值仿真計算中的帶隙結構。

圖8分別給出了通過試驗測量所得的加速度頻率響應函數、有限元仿真計算下雙側等晶格常數振子聲子晶體梁在彎曲振動激勵下的傳遞特性曲線。這兩種方法所得到帶隙結構相一致，在320～400Hz和480～700 Hz存在分別由兩種振子所形成的兩個振動帶隙。通過試驗結果的對比，也驗證了本文所采用的數值仿真模型與有限元計算方法的有效性和準確性。

最終將三種聲子晶體梁的振動傳遞特性試驗結果進行比較，如圖9所示。從圖中可以很明顯地看出雙振子梁的兩個帶隙分別由兩種振子各自形成，但從帶隙的起止頻率上看，雙振子梁兩個帶隙的起始頻率與單振子相符，但在截止頻率上有所差異，總體上體現出一種“低頻帶隙寬度被縮窄、高頻帶隙被拓寬”的現象。這是由于理論上兩個振子分別形成的帶隙有一段重合頻率的存在，使得低頻帶隙的帶隙截止處振動模態與高頻帶隙的起始處振動模態發生相互影響作用，使兩個帶隙之問出現了一段通帶頻率；而高頻帶隙的拓寬現象之前仿真計算中得出的結果是一致的。

可見，利用有限元法進行有限周期聲子晶體的振子布置形式設計時可以實現較為準確的帶隙預測。

3.雙振子梁帶隙特性的影響分析

3.1周期數的影響

從前述的計算中可知，振子周期數的多少對帶隙也有重要的影響。從理論上說，周期數越多其減振特性越好，而實際中由于結構尺寸的限制、輕量化要求等等，需要利用盡可能少的周期滿足預期的減振效果。

為了探明聲子晶體結構中周期數與振動衰減量之間的關系，建立帶有20個振子（10個周期）雙側布置的聲子晶體梁模型進行近一步的比較，仿真模型與對比結果如圖10所示。

從圖中可以明顯地看出這三條傳遞特性曲線之間反映出一個差異，其主要體現在振動帶隙的寬度上：單側布置形式的振動帶隙起止頻率為944～1156Hz，而雙側布置形式的振動帶隙起止頻率為944～1470Hz左右，雙側布置振子形式增大了帶隙的截止頻率，對帶隙產生了一定的拓寬作用，帶隙寬度從212Hz拓寬了2.5倍到達530Hz。

可見，雙側振子的布置方式可以在較少的周期內實現帶隙范圍的拓寬，且在一定程度上保證振動的衰減量。

3.2晶格常數的影響

對振子型聲子晶體梁而言，晶格常數主要對彎曲振動帶隙的寬度產生影響，晶格常數的減小有助于增強帶隙對振動衰減能力，但同時隨著晶格常數的減小，在一定長度范圍內基體梁上的振子數目就增多了，使得整個系統的附加質量增大。而前文設計的雙側布置振子結構在一定長度的基體梁上的振子數目加倍，過多的附加質量將對減振系統可能產生較大的影響。這里在雙側等晶格常數振子布置形式的基礎上，增大其中一側振子的晶格常數以減輕整個系統的質量，如圖11所示。在Abaqus中建立不同晶格常數組合形式的聲子晶體梁有限元模型，以研究雙晶格常數布置結構的聲子晶體梁帶隙特性。結果如圖12所示。

所設計的雙晶格常數布置振子形式聲子晶體梁，取4種不同晶格常數組合形式如表3所示，使其與等晶格常數的計算結果進行對比。

比較仿真結果得到的不同晶格常數組合的振動傳遞特性中，表明無論是改變振子一或振子二的晶格常數，不僅會使振子本身形成的帶隙寬度被縮窄，而且還引起另一個振子形成的帶隙發生一定的寬度縮窄現象。

4.結論

本文對并聯式雙振子聲子晶體梁的帶隙特性進行了計算分析，主要結論如下：

（1）相較于單振子布置形式，雙側等晶格常數振子布置形式能有效拓展聲子晶體梁的低頻彎曲振動帶隙，對兩種振子質量和連接剛度參數獨立控制，能更好地適用于衰減多頻帶的振動激勵源；

（2）試驗測試結果與仿真計算的帶隙特征一致，驗證了雙振子結構對帶隙的拓展特性，也驗證了有限元法進行有限周期聲子晶體的振子布置形式設計時可以實現較為準確的帶隙預測；

（3）對單振子進行雙側布置可以在較少的周期內實現帶隙范圍的拓寬，并且在一定程度上還能保證振動的衰減量；

（4）對并聯式雙振子聲子晶體梁，通過增大單側晶格常數可以一定程度上削弱過多的附加質量將對減振系統可能產生較大的影響，但無論是哪一側振子的晶格常數，不僅會使振子本身形成的帶隙寬度被縮窄，而且還引起另一個振子形成的帶隙發生一定的寬度縮窄現象，從而影響減振效果。