拋物線的切線在中考數(shù)學(xué)綜合題中的應(yīng)用

韓寶玉

摘要：中考數(shù)學(xué)綜合題是對(duì)考生綜合能力的一個(gè)全面考察，所涉及的知識(shí)面廣，所使用的數(shù)學(xué)思想方法也較全面.因此，中考數(shù)學(xué)綜合題的解題策略是把綜合題分離為相對(duì)獨(dú)立而又單一的知識(shí)模塊或方法模塊去思考和探究.

關(guān)鍵詞：拋物線；切線；數(shù)學(xué)

從試題類型上講，中考綜合題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答.

下面筆者就以如何利用拋物線的切線解決中考數(shù)學(xué)綜合題進(jìn)行舉例說明.

例1、拋物線 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（-1，0），C（0，2），點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：此題可先借助于待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，然后求出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，由于點(diǎn)B、C、D為定點(diǎn)，故△BCD的面積為定值，平移直線BC，使之與拋物線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)F，則△BCF的面積最大，從而四邊形CDBF的面積最大，求出切點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo).

解：把點(diǎn)A（-1，0），C（0，2）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，有

解得m = ，n = 2∴拋物線的解析式為

配方得 ，∴D（ ，0）.當(dāng)y = 0時(shí)， ，解得 ， ，∴B（4，0）

設(shè)直線BC的解析式為y = kx+2，把點(diǎn)B（4，0）的坐標(biāo)代入直線BC的解析式，有4k+2=0，解得k = ，∴直線BC的解析式為 再設(shè)平行于BC的拋物線的切線l的解析式為 ，

則切點(diǎn)F的坐標(biāo)為方程組 的解，由于拋物線與直線l相切，故方程組有唯一解.代入消元得 ∴Δ=16-4（2b-4）= 0，解得b = 4.

∴ ， ，當(dāng)x = 2時(shí)， ，∴F（2，3）.

∵點(diǎn)E在直線BC上，∴當(dāng)x = 2時(shí)， ，∴E（2，1）.

作FG⊥y軸于點(diǎn)G，則FG=2，OG=3，∵OC=2，∴CG=1，又OD= ，OB= 4，

=

即當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，1）時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，最大面積是 .

例2、已知拋物線 經(jīng)過原點(diǎn)，將拋物線上x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個(gè)“W”形狀的新圖象，若直線 與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求b的值.

分析：此題亦可先借助于待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，然后求出A點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定翻折后的拋物線的解析式，由于直線 從左向右上升，故該直線過點(diǎn)A時(shí)與圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，將該直線平移，使之與翻折后的拋物線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)E，此時(shí)該直線與圖象恰好也有三個(gè)公共點(diǎn)，利用判別式法可以確定b的值，也可求出切點(diǎn)E的坐標(biāo).

解：∵拋物線 經(jīng)過原點(diǎn)，∴ ，故k = 1，拋物線的解析式為 ，當(dāng)y = 0時(shí)，

，解得 ， ，∴A（-2，0）.①由于直線 從左向右上升，

故該直線過點(diǎn)A（-2，0）時(shí)它與圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，∴ ，解得b = 1.

② ∴翻折后的拋物線的解析式為：

當(dāng)直線 與翻折后的拋物線相切時(shí)，該直線與圖象恰好也有三個(gè)公共點(diǎn)，則切點(diǎn)E的坐標(biāo)為方程組 的解，由于拋物線與直線相切，故方程組有唯一解.代入消元得 ∴Δ= ，解得b= .綜上，當(dāng)b的值為1或 時(shí)，直線 與該圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn).

判別式法是解決拋物線的切線的有效解題模式和途徑，也是中考數(shù)學(xué)綜合題的常用解題策略之一，通過以上兩個(gè)范例的分析和解答，希望能給讀者解決相關(guān)中考數(shù)學(xué)綜合問題提供一些幫助和啟發(fā).