例談數學思想方法在解題中的應用

孫建敏

數學思想是對數學知識與方法形成的規律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略.學生熟練掌握數學思想對于提高分析與解決問題的能力具有重要作用.下面以“整式及其加減”教學為例，說明數學思想方法在解題中的具體應用.

一、用字母表示數的思想方法

引入字母表示數，是從算術到代數的重要標志之一.正確理解用字母表示數的意義，是學好數學基礎知識的基本要求，也是認識上的一個轉折點.例如，設n是整數，那么偶數就可表示為2n，被9整除的數可表示為9n.

二、從“特殊到一般”，再從“一般到特殊”的數學思想方法

從簡單的、個別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規律和性質（即構建一定的數學模型），然后應用一般的規律和性質去解決特殊的問題，這是數學中常用的思想方法.列代數式和求代數式的值，體現了這種思維方法.

例1 某校開運動會，需要買一批筆記本和圓珠筆，筆記本要買40本，圓珠筆買若干支.王老師去了兩家文具店，筆記本和圓珠筆的零售價分別為3元和2元，但甲文具店的營業員說：“若筆記本按零售價，那么圓珠筆可按零售價的7折優惠.”乙文具店的營業員說：“筆記本和圓珠筆都可按零售價的8折優惠.”（1）若學校需要買圓珠筆80支，你認為王老師去哪家文具店較合算？可節省多少錢？（2）設要買的圓珠筆為x支，試用代數式表示甲、乙兩家文具店的收費.

解析：（1）若買圓珠筆80支，甲文具店收費3×40+2×80×70%=232元；乙文具店收費（3×40+2×80）×80%=224元. 故選乙文具店合算，可節省232-224=8元.（2）甲文具店收費：3×40+2x·70%=120+1.4x（元）；乙文具店收費：（3×40+2x）·80%=96+1.6x（元）.

三、方程思想

方程思想是指，對所要求解的數學問題，利用已知量和未知量的聯系列出方程，通過解方程，使問題獲解的思維方式.

四、分類討論思想

當被研究的問題包含多種情況，又不能一概而論時，必須按出現的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結論.這種處理問題的思維方式就是分類討論思想.分類時不重復、不遺漏，是分類討論的基本要求.

例3 某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品.經過市場調查發現，如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投入其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費用700元.請問：根據商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？

解析：由于商場的投資金額直接影響著兩種出售方式的獲利多少，因此應對投資金額分情況進行討論.設商場投資x元，則月初出售獲利為：（1+15%）·x·（1+10%）-x=0.265x……①；月末出售獲利為：（1+30%）x-700-x=0.3x-700……②.②-①，得0.3x-700-0.265x=0.035x-700.所以當0.035x-700=0，即x=20000時，月初出售與月末出售獲利一樣多；當x>20000時，月末出售獲利多；當x<20000時，月初出售獲利多.

五、整體思想

整體思想是指，在解題時，從整體著手，把一些表面上看似彼此獨立而實質上又緊密聯系的量作為整體加以考慮的一種思維方法.運用這種思想方法，能使一些按常規解法不能解或比較繁難的問題迎刃而解.

六、數形結合思想

數形結合思想是指，在研究問題的過程中，由數思形、由形思數，把數與形結合起來分析問題的一種思想方法.運用數形結合思想解題，能使復雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，收到簡捷、明快之功效.

七、轉化思想

轉化思想是指，在研究和解決有關數學問題時，通過某種方式將復雜的問題轉化為簡單的問題，將難解的問題轉化為易于求解的問題，將未知的問題轉化為已知的問題.

八、歸納法

簡單地說，歸納法是一種由一系列有限的特殊事例得出一般性結論的推理方法.它能幫助我們從具體事例中發現一般性規律.