以靜制動自然生成
——以2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學卷第28題為例

☉甘肅張掖市第三中學李永明

以靜制動自然生成
——以2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學卷第28題為例

☉甘肅張掖市第三中學李永明

一、問題的提出

“怎樣解題表”是喬治·波利亞凝聚成的一套集解題思想、解題過程、解題思路、解題方法等于一身的一個完整的解題教學系統(tǒng).它融理論與實踐于一體，為學生提出問題、解決問題指明了方向.如何才能在中考壓軸題中有效利用“怎樣解題表”解決“動點問題”呢？按照“怎樣解題表”指引，筆者結(jié)合2016年甘肅省張掖市中考數(shù)學卷第28題，從弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧四個方面入手，認真反饋解題的思維過程，分析解題過程中的邏輯關系，使“怎樣解題表”由常識上升為理論，讓每個學生學會解題過程分析，提高解題能力.現(xiàn)拙文呈現(xiàn)其“四階段”思維過程，以期拋磚引玉，與同行交流.

二、解題思維過程分析

原題：（2016年甘肅張掖第28題）如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，3）兩點.

（1）求此拋物線的解析式和直線AB的解析式.

（2）如圖1，動點E從O點出發(fā)，沿著OA方向以1個單位/秒的速度向終點A勻速運動，同時，動點F從A點出發(fā)，沿著AB方向以個單位/秒的速度向終點B勻速運動，當E、F中任意一點到達終點時另一點也隨之停止運動，連接EF，設運動時間為t秒，當t為何值時，△AEF為直角三角形？

圖1

圖2

（3）如圖2，取一根橡皮筋，兩端點分別固定在A、B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P與A、B兩點構(gòu)成無數(shù)個三角形，在這些三角形中，是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時點P的坐標；如果不存在，請簡要說明理由.

1.弄清問題.

“弄清問題”是解題的前提.在認真閱讀題目后，必須分析本題的“未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？”

認真閱讀例題，已知條件有三個：

拋物線y=-x2+bx+c的解析式；

拋物線經(jīng)過點A（3，0）；

拋物線經(jīng)過點B（0，3）.

未知有三問：

（1）第一問求此拋物線的解析式和直線AB的解析式；

（2）第二問當△AEF為直角三角形時，求t的值；

（3）第三問當△PAB的面積最大時，求點P的坐標.

2.擬定計劃.

“擬定計劃”是解題的關鍵，是一個探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，也是一個化歸過程.“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？”

針對以上問題，要努力追憶在課本、資料中出現(xiàn)過的類似題目，從大腦中提取出與本例題有關的定義、公式、定理、類題等解題依據(jù)，把想到的與本題有關的信息都羅列出來，供下一步使用.

題型：求拋物線、一次函數(shù)解析式的題型；動點問題的題型；求三角形最大值問題的題型.

定義：正切的定義.

性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)等.

第（1）問：

問題思考1：從已知和未知條件思考：要確定拋物線y=-x2+bx+c和直線AB的解析式，只要知道什么就可以了？

已知拋物線y=-x2+bx+c的解析式中二次項系數(shù)a= -1，b和c未知，解析式中有兩個未知數(shù)，所以確定解析式只需要知道兩個點的坐標，就可用待定系數(shù)法求出其解析式.同理，直線AB的解析式也可用待定系數(shù)法求出.

問題思考2：從熟悉的題型思考：你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.這是一個與你現(xiàn)在的問題相關，且早已解決的問題.你能不能利用它的結(jié)果和方法呢？

求解析式這類題經(jīng)常練習，常用方法是待定系數(shù)法.

第（2）問：

問題思考1：從已知條件分析：你知道這是一個什么問題嗎？第（2）問引入速度和時間后，你還能得到哪些條件？

它是一個雙動點問題.E和F是兩個動點，知道其運動速度和時間t，就可以把E和F兩點的路程表示出來，即OE=t，AF=t.

問題思考2：你知道解決此類問題的方法嗎？

解決此類問題的策略就是以靜制動，運用以退求進的方法，退到特殊情況尋找突破口.也就是把動點E和F分別靜止到△AEF為直角三角形時的特殊位置.

問題思考3：你知道△AEF為直角三角形的幾種特殊位置嗎？能畫出草圖嗎？

△AEF為直角三角形一般有三種情況，但從圖形上分析，∠EAF固定不變，如圖3、4，所以有兩種情況.

圖3

圖4

問題思考4：你見過這類型的題嗎？你知道解決此題的方法嗎？

這是常見的方程模型，由線段OE、OA的長求出線段AE的長，通過相似或三角函數(shù)列出方程，從而求出t的值.通過這種方法就把已知和未知兩者聯(lián)系了起來，使問題得到了解決.

第（3）問：

問題思考1：從未知條件分析：你知道這是一個什么問題嗎？從整體上分析你認為點P存在嗎？

第（3）問實質(zhì)上也是一個動點問題，點P從點A出發(fā)，在拋物線上移動到達點B，△PAB的面積逐漸增大，又逐漸減小，在這一連續(xù)的過程中，一定有一個最大值.

問題思考2：在點P的運動過程中你發(fā)現(xiàn)了哪些不變的量？哪些變化的量？

線段AB的長不變，△PAB中邊AB上的高在變化.

問題思考3：你見過這種類型的題嗎？解決此題的關鍵是什么？如何解決？

見過，解決的關鍵是確定點P在什么位置時，△PAB的面積最大.從圖上可以分析，在△PAB中，線段AB的長是固定的，當△PAB中AB邊上的高達到最大值時，△PAB的面積也最大，也就是說可以向上平移直線AB，如圖5，平行線與拋物線有兩個交點，利用平行線間的距離處處相等，當直線AB平移到與拋物線只有一個交點時，如圖6，△PAB中AB邊上的高達到最大值，這時就找到了點P的準確位置，通過已知條件的變換，找到了點P，它是存在的.下面還得求出點P的坐標，拋物線的解析式與平移后的直線的解析式組成方程組，當有一個交點時，Δ=0，求出t的值.

圖5

圖6

3.實現(xiàn)計劃.

解：（1）由拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（0，3）兩

（3）如圖7，存在.

過點P作PC∥AB交y軸于C.設直線PC的解析式為y=-x+b.由得-x+b=-x2+2x+3，則x2-3x+b-3=0.

圖7

過點B作BD⊥PC，則直線BD的解析式為y=x+3，

4.回顧.

解題后的回顧是對解題過程的反思，從中發(fā)現(xiàn)新的解題方法，提煉解題思想，形成對未來有指導作用的解題經(jīng)驗，升華為學生分析、加工和運用信息的數(shù)學才能，從而提高學生的解題能力.

（1）從正面檢驗每一步，推理是否有效，演算是否準確.再做特殊性檢驗，由結(jié)論出發(fā)，由拋物線y=-x2+2x+3和直線y=-x+3，令x=0，得到y(tǒng)的值都是3，進一步與點B（0，3）的橫、縱坐標對比，如果都一致，說明正確.

（2）回顧解題過程可以看到，首先要弄清問題，分析已知和未知，簡化已知條件，并從圖形和記憶中提取有用信息，并相應將兩組信息資源做合乎邏輯的有效組合.這當中，起調(diào)控作用的關鍵是如何去構(gòu)思出一個成功的計劃（包括解題策略），也可以根據(jù)自己的解題經(jīng)驗進一步領悟制定計劃的普遍建議或模式.

（3）在解題方法上，它是分析法的成功應用，對于第（2）問，由結(jié)論出發(fā)，由后往前找成立的充分條件，求出t的值，我們只需畫出t值存在的兩種情況的草圖，用t的代數(shù)式表示出線段AE、AF的長，通過相似或三角函數(shù)列出方程，從而求出t的值.

（4）在解題思想上，它是方程思想的成功應用，三個小題都用到了方程思想，第（1）問為了求解析式，列出了二元一次方程組.第（2）問要求t的值，要列出一個分式方程來解，難度進一步加大.第（3）問要求點P的坐標，要列一個二元二次方程組，根據(jù)化解后的一元二次方程根的判別式，求出點P的坐標.

（5）“你能否用別的方法導出這個結(jié)果？”在信念上我們應該永遠堅定地做出肯定的回答，雖然你沒有實現(xiàn)，但這只是能力問題或暫時現(xiàn)象.對于第（3）問，還有以下解法.

圖8

方法2：如圖8，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點G，交x軸于點M，過點B作BN⊥PG，這樣我們可以把△PAB分成△PAG和△PBG兩個三角形，由圖形可知△PBG和△PAG邊PG上的高分別是線段BN和AM，BN+AM=OA=3是個常量，只要求出PG的最大值，即可得△PAB的最大值.設點P（m，-m2+2m+3），由題意知點G的坐標為（m，-m+3），所以PG=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m.S△PAB=3），當m=-，此時點時，△PAB的面積最大，最大是P（，）.

圖9

方法3：如圖9，可以用分合并用的方法，將△PAB的面積轉(zhuǎn)化為四邊形PAOB的面積減去△OAB的面積，四邊形PAOB的面積等于△OBP的面積加上△OPA的面積.設點P為（m，-m2+2m+3），S△PAB=S四邊形PAOB-S△OAB=-時，△PAB的面積最大，最大是，此時點P（，）.

三、反思小結(jié)

綜述以上解題過程，解答一道題，第一件事就是想知道：這是道什么題？它是什么形式，屬于哪種類型？如果識別了其類型，就得到了解題方法，因為在課本里，許多類型的習題都有它們特定的解題方法和策略.例如，模式識別，映射化歸，數(shù)形結(jié)合，差異分析，分合并用，動靜轉(zhuǎn)換，進退互化，有效增設，正反相輔，以美啟真等.如果識別的類型不是我們熟悉的類型，我們不知道其解題方法，那么，我們應該怎么辦呢？只有歸結(jié)為熟悉的早已解決的問題，利用變換、改編或其他方法，最終化歸為已經(jīng)解決的問題.如果遇到不熟悉的和費解的問題，那么，所有已知的建議都無濟于事了，這時尋找解題思路有兩種方法：一種方法是把問題“分解”，使每一個小問題都是熟悉的；另一種方法是可以揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實質(zhì)是熟悉的，還可以不間斷地改編問題，最終化歸為已經(jīng)解決的的問題.

總之，解題就是把題目歸結(jié)為已經(jīng)解過的題，是一個改編習題的過程.我們只有不斷地去弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧反思，對已知和結(jié)論不斷地去分析，找到它們的聯(lián)系，才能找到一個簡潔、高效的解題方法.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.羅增儒.中學數(shù)學解題［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

3.李永明.捕捉、提取、組合、反饋四階段解題的思維剖析與思考——以2014年張掖卷第28題為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（7）.