講評試卷預設專題，由表及里明辨模型
——以“a+k·b”線段最小值專題輔導為例

☉江蘇蘇州市吳江區笠澤實驗初級中學張贊

講評試卷預設專題，由表及里明辨模型
——以“a+k·b”線段最小值專題輔導為例

☉江蘇蘇州市吳江區笠澤實驗初級中學張贊

中考復習期間會有大量的模考題出現在備考師生面前，絕多數模考題的得來多是簡單復制、拿來主義.最近復習過程中，我們在某份模考卷上選用了一道2016年中考原題，該題最后一小問與前面小問之間缺少關聯，參加模考的學生幾乎“全軍覆沒”，這促使我們深入思考應該如何應對這類難題的講評.本文先介紹該題的思路突破，進而展示我們針對這一類型試題的專題輔導.

一、一道“拼湊式”壓軸題及難點突破

考題：如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M.

（1）求a的值和直線AB的函數表達式；

（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若=，求m的値；

（3）如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值.

圖1

圖2

思路簡述：前兩問比較常規，限于篇幅，這里略去思路，直接給出答案（.1）a=-，直線AB的函數表達式為y=-x+3；（2）m的值為2.

圖3

（3）在上一問的條件下，容易確認點E（2，0），OE=2.由于這一小問與前面拋物線、動直線PE已無關，于是把無關線條刪減之后，在圖3中進一步構圖

化為兩個定點之間的距離，我們預設了如圖4所示的PPT，輔導講解.

圖4

解后反思：由于該題最后一問需要較高難度的構圖，多數學生在沒有接觸過的情況下，在考場上沒有順利突破在情理之中，該題的構圖背后有一個“高觀點”知識的結構，這就是所謂“阿波羅尼斯圓”問題.（百度可知：阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262—190年），古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德齊名）

由于形如“a+k·b”線段最小值問題在初中階段不太常見，我們擬對該類專題進行輔導，作為這道考題的拓展式講評，以下就是該專題的教學簡案.

二、形如“a+k·b”線段最小值的專題輔導設計

因為復習講評時間有限，本專題輔導僅關注k≠1的情形.

教學環節（一）“胡不歸”問題.

例1（2016年徐州卷壓軸題，有刪減）如圖5，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c的圖像經過點A（-1，0）、B（0，-）、C（2，0），其對稱軸與x軸交于點D.

（1）求二次函數的表達式及其頂點坐標；

圖5

圖6

預設講評：（1）二次函數的表達式為

（2）如圖6，過P點作DE⊥AB于E點，由題意已知∠ABO=30°.

拓展講評：可先介紹所謂的“胡不歸”故事（限于篇幅這里不摘引），但告知學生故事真假需要存疑，我們只需要感受其中的數學智慧，并且“胡不歸”問題的本質是光線在不同介質中的傳播，早在17世紀世界業余數學家之王費馬就曾對該問題有過深刻的思考，供有興趣的學生課后鏈接學習.

教學環節（二）“阿氏圓”問題.

例2（2016年北京東城區中考一模，壓軸題改編）如圖7，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，⊙A與BC邊相切，點P為⊙A上一動點，連接PB、PC.試求PC+PB的最小值.

圖7

圖8

預設講評：首先確認圓的半徑為，在AB邊上取點Q，構造△APQ∽△ABP，可將PB轉化為PQ，再利用相似三角形對應比之比分析出AQ的長為1，從而確定Q點的位置，連接CQ交⊙A于P′，則此時PC+PB取得最小值.

預設小結：數學史話介紹（對古希臘數學家阿波羅尼斯作出簡要介紹），并幫助學生總結“阿氏圓”問題一般解題步驟：如“PC+k·PD”最小值的構圖（如圖9~11）步驟如下：

圖9

圖10

圖11

第一步：連接動點與圓心O（將系數不為1的線段的兩個端點分別與圓心相連接），則連接OP、OD；

第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、OD的長度；

第五步：連接CM，與圓O的交點即為點P.

教學環節（三）評講“考題”.

重點講評上面的“考題”第（3）問.

教學環節（四）同類訓練.

圖12

訓練題：（2016年重慶B卷，改編）如圖12，頂點為M的拋物線y=x2-2x+1與直線y=kx+b（k≠0）交于A、B兩點，點A的坐標為（0，1），點B在第一象限內.

（1）求直線AB和直線BM的解析式；

（2）點C為拋物線在第一象限上一點，且點C到x軸的距離是，在線段AB上找一點D（不與點A、B重合），求CD+BD的最小值.

設計意圖：容易確定直線AB的解析式為y=x+1；直線BC的解析式為y=2x-5.進而構造等腰直角三角形BDE，將BD轉化為DE，當C、D、E三點共線時，CD+BD取得最小值.

三、寫在后面

經由上述專題輔導后，不少學生反映對這兩類問題有較深的理解，特別是明辨了類似結構的最小值問題的不同模型.這對今后我們的中考專題復習也帶來了更多的研發視角，這就是不僅可以是以往以開放題、探究題、動態題、圖形變換題等形式化的分類輔導，而且可以從一些難題的突破策略或某類解題模型或問題深層結構的角度構造、研發中考專題，想來這應該是一個很有意義的研究方向，就讓我們共同努力、豐富相關課例吧！

1.陳蓓蓓.例說幾何定理教學的層次——由傅種孫先生數學教育思想說起［J］.中學數學（下），2016（12）.

2.羅增儒.數學的領悟［M］.鄭州：河南科學技術出版社，1997.

3.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學微設計［J］.中學數學（下），2016（9）.