如何突破一元一次方程的應(yīng)用題

李春燕

摘 要：當(dāng)下很多學(xué)生害怕學(xué)習(xí)一元一次方程應(yīng)用題，本文從心理方面和知識(shí)、方法方面指導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生準(zhǔn)確無誤地解決一元一次應(yīng)用題，為后續(xù)的二元一次方程組應(yīng)用題以及分式方程應(yīng)用題做鋪墊。

關(guān)鍵詞：學(xué)生 應(yīng)用題

很多七年級(jí)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)一元一次方程應(yīng)用題感到很恐懼，大部分學(xué)生一遇到題目就感到頭痛，無從下手，甚至是九年級(jí)的學(xué)生也會(huì)有這種現(xiàn)象。初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)始于七年級(jí)，對(duì)于剛升上七年級(jí)的學(xué)生來說，從小學(xué)的形象應(yīng)用題到抽象應(yīng)用題這個(gè)過渡期，爭(zhēng)取在七年級(jí)第一學(xué)期末突破應(yīng)用題，這樣，七年級(jí)的學(xué)生升至八、九年級(jí)后，至少可以減輕學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的恐懼感。前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基提出“一個(gè)好的教師，是一個(gè)懂得心理學(xué)和教育學(xué)的人。”因此，我從心理和知識(shí)方法兩方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，雙管齊下。

一、心理方面的指導(dǎo)

偉大的前蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基提出“教育者應(yīng)當(dāng)深刻了解正在成長的人的心靈……只有在自己整個(gè)教育生涯中不斷地研究學(xué)生的心理，加深自己的心理學(xué)知識(shí)，才能夠成為教育工作的真正的能手。”我們的首要問題是談化學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的恐懼感。從難度上看，小學(xué)的應(yīng)用題涉及量較小，他們?cè)谛W(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一定類型的應(yīng)用題，涉及到工程、行程、數(shù)量、增減量、平均數(shù)等類型的應(yīng)用題，小學(xué)階段是學(xué)習(xí)用算式解決應(yīng)用題，而上了七年級(jí)，要求用一元一次方程解應(yīng)用題，初中的應(yīng)用題涉及量較多，范圍廣，實(shí)用性強(qiáng)，無形中增加了應(yīng)用題的難度。另一方面，八九年級(jí)繼續(xù)學(xué)習(xí)用方程解應(yīng)用題，七年級(jí)的應(yīng)用題學(xué)習(xí)是在初中三年的應(yīng)用題學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用。因此，我及時(shí)做好他們的思想工作，告訴他們初中三年都要求學(xué)習(xí)用方程解同樣類型的應(yīng)用題，讓他們明確寧愿一年辛苦總比三年辛苦劃算得多，鼓起勇氣克服解應(yīng)用題的難點(diǎn)，題目越是多量越是要鎮(zhèn)定審題。至于設(shè)計(jì)題目時(shí)要迎合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡(jiǎn)單的題目出發(fā)，不斷鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真聽課，認(rèn)真做題，通過這樣不斷地訓(xùn)練——點(diǎn)撥——訓(xùn)練——提升，學(xué)生在其中不斷獲得成功感，見證自己努力后的提高，如此良性循環(huán)，學(xué)生解應(yīng)用題就充滿信心。

二、知識(shí)、方法方面的指導(dǎo)

解應(yīng)用題的步驟分為審題、設(shè)未知數(shù)、分析題意、列方程、解方程、答。以下一一簡(jiǎn)述如何突破一元一次方程的應(yīng)用題。

（一）審題

審題是解應(yīng)用題的第一步，要學(xué)生明確審題的重要性：題目就是“叫”和“教”學(xué)生怎樣解題，題目就是以文字的形式“告訴”學(xué)生哪些是等價(jià)關(guān)系。在審題的過程中，明確題目的類型，常見的一元一次方程應(yīng)用題類型有行程問題、工程問題、航行問題、銷售問題、調(diào)配問題、分配問題、比賽記分問題、數(shù)字問題、配套問題、增長率問題、比例問題、幾何圖形問題、方案設(shè)計(jì)與成本分析問題、年齡問題、收費(fèi)問題等，針對(duì)這么多類型的應(yīng)用題必須做到及時(shí)“對(duì)癥下藥”，涉及行程問題的就用行程公式或公式的變形，涉及工程問題的就用工程公式或公式的變形，如此類推，做到及早鎖定思考空間。

（二）設(shè)未知數(shù)

設(shè)未知數(shù)有兩種方法：直接設(shè)和間接設(shè)。

1.直接設(shè)

直接設(shè)是指題目求什么量就設(shè)什么量。題目只求一個(gè)量，而且這個(gè)量與已知的量有直接的關(guān)系，則采用這種方法。

例1：甲、乙兩人相距60米，相向而行，甲從A地每秒走3米，乙從B地每秒走2米，那么幾秒后兩人相遇？

分析：本題是相遇問題，求相遇時(shí)間，由于這里的相遇時(shí)間與二人速度、距離有直接的關(guān)系，即：距離=相遇時(shí)間×速度和。所以，該題可以設(shè)為：設(shè)x秒后兩人相遇。

例2：某校7000元購進(jìn)35套桌椅，每把椅子65元，求每張桌子是多少元？

分析：本題是總價(jià)問題，求桌子的單價(jià)，由于這里的桌子單價(jià)與椅子的單價(jià)、桌椅的數(shù)量、總價(jià)有直接的關(guān)系，即：總價(jià)=（桌子單價(jià)+椅子單價(jià)）×數(shù)量。所以，該題設(shè)為：設(shè)每張桌子是x元。

2.間接設(shè)

間接設(shè)是指不直接設(shè)題目要求的量，而是設(shè)與題目所求量相關(guān)的量。

例3：一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭的之間的距離？

分析：本題是船在順?biāo)⒛嫠叫械膯栴}，公式為：船在順?biāo)叫械乃俣?船在靜水中的速度 +水流速度；船在逆水航行的速度=船在靜水中的速度-水流速度。本題中要求距離但缺少船在靜水中的速度，抓住本題等價(jià)關(guān)系：兩碼頭的距離相等，根據(jù)公式（船在靜水中的+水流速度）×順?biāo)叫械臅r(shí)間=（船在靜水中的速度-水流速度）×逆水航行的時(shí)間，船在靜水中的速度和兩碼頭的距離都是未知量，要求兩碼頭的距離就必須先求出船在靜水中的速度方可完題，因此，本題應(yīng)采用間接設(shè)法，即：設(shè)船在靜水中每小時(shí)航行x小時(shí)，則兩碼頭的距離是（x+3）×2千米。

如果題目中要求兩個(gè)量，就通常設(shè)“比”，“是”，“為”字后面的量為未知數(shù)，這樣，學(xué)生對(duì)于求兩個(gè)量的應(yīng)用題，就有了設(shè)的線索了。

例4：甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，2小時(shí)后相遇。已知甲騎車每小時(shí)比乙每小時(shí)多走2千米，求甲，乙兩人的速度。

分析：該題要求甲，乙兩人的速度，根據(jù)題意可以設(shè)二者中的一個(gè)為未知數(shù)，但是為了學(xué)生容易理解（大部分學(xué)生接受順向思維多過逆向思維），我們不妨設(shè)“比”字后面的乙的速度為未知數(shù)，而甲速度直接根據(jù)題目所述比乙多走2千米，即：設(shè)乙每小時(shí)走x千米，則甲每小時(shí)走（x+2）千米。

（三）分析題意

分析題意是建立在審題基礎(chǔ)上。為了提高學(xué)生的分析能力，在講授應(yīng)用題之前讓學(xué)生熟練相關(guān)公式以及公式的變形，結(jié)合題意以及所設(shè)的未知數(shù)進(jìn)行列表格，列表格是把應(yīng)用題的抽象化解為直觀，大大降低應(yīng)用題的難度。對(duì)于初一的學(xué)生剛剛接觸列表格，我具體的做法如下：教師必需親自示范幾次完整地列表格，隨后列不完整的表格讓學(xué)生填空，最后完全由學(xué)生動(dòng)手列完整的表格，通過這樣循序漸進(jìn)的訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)列表格有一定的熟練程度。學(xué)生學(xué)會(huì)了列表格為下一步正確列方程邁了重要的一個(gè)臺(tái)階。

例3：一艘船在兩個(gè)碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時(shí)，順?biāo)叫行枰?小時(shí)，逆水航行需要3小時(shí)，求兩碼頭的之間的距離？

解：設(shè)船在靜水中每小時(shí)航行x小時(shí)，則兩碼頭的距離是（x+3）×2千米。

例4：甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距65千米的兩地相向而行，2小時(shí)后相遇。已知甲騎車每小時(shí)比乙每小時(shí)多走2千米，求甲，乙兩人的速度。

例5：甲車隊(duì)有50輛汽車，乙車隊(duì)有41輛汽車，如果要使乙隊(duì)汽車數(shù)比甲隊(duì)汽車數(shù)的2倍還多1輛，應(yīng)從甲隊(duì)調(diào)多少輛到乙車隊(duì)？

解：設(shè)應(yīng)從甲隊(duì)調(diào)x輛到乙車隊(duì)。

（四）列方程

綜合上述的審題、設(shè)未知數(shù)、分析題意，解應(yīng)用題最重要的一步是列方程，也是體現(xiàn)應(yīng)用題的難點(diǎn)所在。有部分學(xué)生懂得列表格，但是就不懂得列方程，說明學(xué)生不會(huì)抓住題目的等價(jià)關(guān)系，或者是不能把等價(jià)關(guān)系“翻譯”為列方程。因此，我的做法是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)找等價(jià)關(guān)系，把等價(jià)關(guān)系用簡(jiǎn)單的文字式子表示，最后根據(jù)表格內(nèi)容把文字式子“翻譯”為列方程。

1.“先讀先寫”

例5：甲車隊(duì)有50輛汽車，乙車隊(duì)有41輛汽車，如果要使乙隊(duì)汽車數(shù)比甲隊(duì)汽車數(shù)的2倍還多1輛，應(yīng)從甲隊(duì)調(diào)多少輛到乙車隊(duì)？

分析：題目的等價(jià)關(guān)系句是“如果要使乙隊(duì)汽車數(shù)比甲隊(duì)汽車數(shù)的2倍還多1輛”，把“比”字看做等號(hào)，乙在前甲在后，它的文字式子為：乙=2甲+1，再把這個(gè)文字式子“翻譯”為列方程：

解：設(shè)應(yīng)從甲隊(duì)調(diào)x輛到乙車隊(duì)。

41+x=2（50-x）+1

2.“怎樣完成工程”

例6：某工程由甲、乙兩隊(duì)完成，甲隊(duì)單獨(dú)完成需16天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需12天。如先由甲隊(duì)做2天，然后兩隊(duì)合做，問再做幾天后可完成這項(xiàng)工程？

分析：該題“先由甲隊(duì)做2天，然后兩隊(duì)合做”，這樣完成工程，根據(jù)題意求甲乙合做的天數(shù)，由于這里沒有具體的工作量，因此把工作總量看作“1”，等價(jià)關(guān)系為：甲2天的工作量+甲乙合做的工作量=1。

解：設(shè)再做x天后可完成這項(xiàng)工程。

題目變式：如果例5的問題改為“一共需要多少天才完成這項(xiàng)工程？”

分析：這里要求的是完成這項(xiàng)工程的總時(shí)間，上述的等價(jià)關(guān)系仍不變。

解：設(shè)一共需要x天才完成這項(xiàng)工程。

3.巧用“比例”關(guān)系

針對(duì)配套問題，很多學(xué)生不懂得怎樣列方程以及把等價(jià)關(guān)系“翻譯”為方程，我們可以巧用“比例”進(jìn)行理順配套問題的數(shù)量關(guān)系，在利用交叉相成列出一元一次方程。

例7：某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時(shí)平均能生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母）？

分析：一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母可以理解為螺栓：螺母=1：2，列表格如下：

由于列出這個(gè)分式方程，通過交叉相乘化為一元一次方程得：。

解：設(shè)安排人生產(chǎn)螺栓，安排（28-）人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套。

（五）解方程

我們對(duì)教材進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，先系統(tǒng)地講授如何解一元一次方程，再講授一元一次方程應(yīng)用題。對(duì)于一元一次方程應(yīng)用題，當(dāng)學(xué)生列出了方程以及解完后，把結(jié)果代進(jìn)方程兩邊檢驗(yàn)是否其解。

（六）答

解應(yīng)用題的最后一步是答，注意有兩種情況，第一種情況是直接設(shè)法的就是問什么設(shè)什么就答什么，第二種情況是間接設(shè)法的必須就方程的解進(jìn)行“加工”后才是最終的結(jié)果，例如，上述的例3，求出x的值，再代進(jìn)式子（x+3）×2才是兩碼頭的距離。

應(yīng)用題是很多學(xué)生的弱項(xiàng)，也是選拔學(xué)生的其中一種題型，我們只有系統(tǒng)地教授給學(xué)生，采取邊講邊練的形式循序漸進(jìn)地開展下去，為了緩和課時(shí)有限與應(yīng)用題知識(shí)點(diǎn)較難的矛盾，為了初中數(shù)學(xué)三年的應(yīng)用題學(xué)習(xí)，我認(rèn)為我們站在一線的七年級(jí)老師不要因?yàn)閱栴}難而逃避不講，而是要采用從淺入深，反復(fù)講練，循序漸進(jìn)等方式結(jié)合心理輔導(dǎo)來提高學(xué)生的應(yīng)用題學(xué)習(xí)。千里之行，始于足下，我們要相信我們的學(xué)生，相信學(xué)生能熟能生巧，相信應(yīng)用題不再是學(xué)生的頭痛題。