剛體定軸轉動時相對瞬心的動量矩定理

劉小會+++侯睿+++王家林

摘 要：在理論力學教材中有關動量矩定理內容中，一般只給出矩心事固定點或質心的質點系動量矩定理。文章從質心動量矩定理出發，推導出剛體做平面運動時相對速度瞬心的動量矩定理，進一步指出對速度瞬心的動量矩定理與對質心的動量矩定理具有相同形式的條件。

關鍵詞：速度瞬心 動量矩定理 剛體平面運動

中圖分類號：0313.3 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）04-0025-01

1 引言

動量矩定理是力學中一個十分重要的定理，但是教材中只是講了動量矩定理對于質量心成立。本文將證明動量矩定理不僅對固定點成立、對質心成立，而且對速度瞬心成立，同時指出只有在特殊情況下對速度瞬心的動量矩定理才具有與質心的動量矩定理同樣的形式。

2 對瞬心的動量矩定理

如圖1所示C為質點組的質心，Cx′y′z′為隨質點組一起運動的動坐標系。Oxyz為慣性坐標系，O為慣性坐標系的原點且和質點組的速度瞬心p重合。在慣性坐標系Oxyz中任意質點mi的相對矢徑為ri，質心C的相對矢心為rc。在此動坐標系

Cx′y′z′內，任一質點mi的相對矢徑ric。如果剛體只繞x軸作定軸轉動，質點系對于質心的動量矩定理為[1]

JCε= ric×Fi （1）

式中JC為質點組相對質心作定軸轉動時的轉動慣量，ε為質點組相對質心的轉動角加速度，Fi 為作用到質點mi的外部載荷。由于剛體對任意軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心、并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積，則相對于瞬心的轉動慣量為：

JP=JC + Mr （2）

將式（2）代入到公式（1）并進行整理可得：

JPε= ric×Fi + Mr ε （3）

式中M為質點組的總質量。如圖1所示，質點mi在動坐標系中的矢徑ric等于其在慣性坐標系中的矢徑rip減去質心在慣性坐標系中的矢徑rcp，即ric=rip-rcp。將其代入到公式（3）中整理可得：

JPε= riP ×Fi -rcp× Fi + Mr ε （4）

由于有空間力對瞬心p的矩MP（F）=riP×Fi，式（4）可簡寫為：

JPε= M -rcp × Fi + Mr ε （5）

根據質心運動定理Mac= Fi，對上式中等號右邊第三項進行簡化可得： JPε= M -rcp × Mac + Mr ε （6）

對于質心C點處得加速度由兩部分組成，切向加速度a 和OC連線相垂直，法向加速度a 順著OC方向。由于整體坐標系中O點是物體運動的瞬心，所以切向速度vc=ω×rcp，式中ω為質點系對瞬心O的角速度。如果結構繞固定軸x作定軸轉動，對質心C求導可得質心的加速度[2]

ac=ω×rcp+ ε×rcp=（ω×rcp）+ω× +ε×rcp （7）

（7）式中切線加速度a =ε×rcp+ ω× ，法向加速度a =ω×（ω×rcp），如圖2所示。

將式（7）代入到式（6）中，公式（6）中等號右邊第三項可寫為：

rcp×Mac= Mrcp×（ω×（ω×rcp））+Mrcp×（ω× ）+Mrcp×（ε×rcp） （8）

由于法向加速度a 和矢徑rcp方向相同，所以rcp×（ω×（ω×rcp））=0。三個矢量的二重叉積滿足公式[3] rcp×（ε×rcp）=（rcp·rcp）ε-（rcp·ε）rcp，即（rcp·ε）rcp。公式（8）可以簡寫為：

rcp×Mac=Mr ε +Mr ×（ω× ） （9）

將公式（9）代入到公式（6）中可得

JPε+Mr ×（ω× ）= M （10）

這樣我們得到了基于瞬心的動量矩定理，其形式較為復雜。但是，當剛體定軸轉動時質心距離瞬心的距離不變時有 =0，則公式（10）可以簡寫為

JPε+Mr ×（ω× ）= M （11）

公式（11）的形式和剛體平面運動對質心的動量矩定理相同。

參考文獻：

[1] 王鐸，程靳.理論力學[M].北京：高等教育出版社，2006.