淺談電源輸出功率隨路端電壓的變化

胡偉軍

電源的輸出功率的表達式為P=UI，如果僅僅由公式的形式來看，認為P與U成正比，那就錯了，應為U和I都隨外電路電阻的變化而變化。要了解P隨U的變化關系，就得找到P和U的函數關系，對此分析如下：

由公式ε=U+Ir，把電流I= 帶入整理

可得： P= + U （1）

上式中P為電源輸出功率，U為路端電壓，ε和r為電源電動勢和電源內阻，由此可見，P跟U成二次函數關系，應為U2的系數是負值，所以P-U圖像是一條開口朝下的拋物線，而且P有最大值。要得到P的最大值，我們可以對（1）式配方

可得：P= （U- ）2+ （2）

由（2）式可見當U= 時，P有最大值為 ，這與我們課本上面所得到的結論是一致的，課本上是用P與R的關系得出的，當R=r時P有最大值為 ，實際上當R=r時也就是U= 時。

根據（1）式及Pmax= 做P-U曲線，如圖所示。由圖像可知，U=0，P=0表示短路狀態的輸出功率為零，此時電源的功率全部在內電路消耗，當0

從圖像中還可以看出，跟同一輸出功率相應的有兩個不同的路端電壓，而且這兩個電壓之和等于電源電動勢。即U1+U2=ε，如U1= 和U2= 時的對應功率相等。最明顯的是P=0時U1=0，U2=ε則U1+U2=ε，而對上述結論的證明如下：

將（1）式變為 - U+P=0 （3）

當P為一定值時（3）式為關于U的一元二次方程，其解為：

U= ±

因為P≤ ，所以U1= + 及U2= - 都是（3）式的解。

由上式可得：U1+U2=ε。

所以可以證明，當P一定時有兩個電壓值對應，且U1+U2=ε。

由于U、I的變化是由外電阻的變化引起的，所以某一恒定的輸出功率也有兩個不同的外電阻R1、R2與之相對應，且R1、R2滿足的關系滿足R1R2=r2。而對此結論的證明可以根據U1+U2=ε進行變換得出。

因為 U1=IR1= R1 U2=IR2= R2

所以 R1+ R2=ε

等式兩邊同乘以（R1+r）（R2+r）后，經整理可得R1R2=r2。

例1： 如圖所示，電路中電池的電動勢E=5V，內電阻r=10Ω，固定電阻R=90Ω，R0是可變電阻，在R0從零增加到400Ω的過程中，求：

（1）可變電阻R0上消耗功率最大的條件和最大熱功率。

（2）電池的電阻r和固定電阻R上消耗的最小熱功率之和。

分析與解：

（1）可變電阻R0上消耗的熱功率：

P0=I2R0=（ ）2R0= R0

代入數值可得：P0= R0=

∴ R0-100Ω=0時，P0最大，其最大值：Pmax= W= W

（2）當電流最小時，電阻r和R消耗的熱功率最小，此時R0應調到最大400Ω，內阻r和固定電阻R上消耗的最小熱功率之和為： Pmin=（ ）2（R+r）=0.01W

本題關鍵是寫出P0、Pmin表達式，進行數學變換。一定要養成先寫表達式，再求值的良好解題習慣，否則就容易出錯。

例2：有四個電源，電動勢均相等，內電阻分別為1Ω、2Ω、4Ω、8Ω，現從中選擇一個對阻值為2Ω的電阻供電，欲使電阻獲得的電功率最大，則所選電源的內電阻為：

A. 1Ω B. 2Ω C. 4Ω D. 8Ω

正確答案：A

解析：本題不能簡單地認為r和R相等時電源輸出功率最大，因為四個電源具有相同的電動勢，但內電阻不同。因為外電阻R為已知量是一定值，所以，由公式P=I2可得，電路電流越大R消耗的功率越大，所以應該選擇內電阻最小的電源，所以選A選項。