從等比數列前n項和公式推導談定義的功能

劉占科

【摘要】等比數列求和公式的推導，按照傳統的、教材通用的錯位相減法來進行教學，學生總有一些疑慮，這個方法是怎么想到的呢？教師在教學過程中如果按照教材的推導方法講授，雖然得出了結論，但總有一種牽強和意猶未盡的感覺.如何才能對等比數列求和公式給出一個合理的、學生和教師都能夠接受的思維解釋呢？下面針對自己對等比數列前n項和的教學，談一下個人的想法.

【關鍵詞】等比數列；定義

等比數列的定義是等比數列的核心，筆者認為等比數列的求和公式一定是從定義入手的，這一點毋庸置疑.只有正確理解等比數列定義的實質、把握定義的內涵和外延、才能達到靈活運用定義，才能對等比數列問題進行正確地分析、推理和論證.

在等差數列前n項和公式的推導中，其求和思想是從等差數列的定義入手，充分運用公差在等差數列中的遞推作用.

即d=a2-a1=a3-a2=…=an-1-an-2=an-an-1.

因此，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an-1+a2=an+a1，

而Sn=a1+a2+…+an-1+an，

倒序后Sn=an+an-1+…+a2+a1，

相加得2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an-1+a2）+（an+a1）=n（a1+an），

所以Sn=n（a1+an）2，

將an用a1+（n-1）d代換得到另一個求和公式Sn=na1+n（n-1）d2.

等差數列的這種求和方法稱作倒序相加法.可以看出等差數列前n項和公式是用等差數列的五個基本量，首項a1、公差d、項數n、末項an及前n項和Sn中的三個基本量來表達的.

類比等差數列，等比數列中也有五個基本量，首項a1、公比q、項數n、末項an及前n項和Sn，我們能否像等差數列前n項和Sn那樣用三個基本量來表達等比數列的前n項和Sn呢？

與推導等差數列的前n項和一樣，我們也從等比數列的定義入手.

思路一從等比數列的定義入手，充分運用公比在等比數列相鄰兩項間的傳遞作用，即

a1q=a2，a2q=a3，…，an-1q=an，

Sn=a1+a2+…+an-1+an.

觀察這個等式，結合剛才的分析，對這個等式兩邊同乘公比q的話，恰好可以得到下列的表達式：

qSn=a2+…+an-1+an+anq.

（因為我們想用基本量表示前n項和，因此，我們沒有把anq用an+1來表示）

仔細觀察這兩個等式，有共同的和式a2+…+an-1+an，因此，做差可以消去這個和式得到：

（1-q）Sn=a1-anq.

當q=1時，an=a1，Sn=na1；當q≠1時，Sn=a1-anq1-q.（1）

我們利用等比數列的通項公式把an用a1qn-1來表示，得到等比數列前n項和的第二種形式的公式

Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1）.（2）

我們把等比數列的這種求和方法稱作錯位相減法.

公式（1）用首項、公比和末項表達公比不為1的等比數列的前n項和，公式（2）用首項、公比和項數來表達公比不為1的等比數列的前n項和.

思路二深挖等比數列定義的功能，深刻領會公比是等比數列任意相鄰兩項的比這一傳遞性（后項與相鄰前項的比值）.

根據等比數列的定義把公比用下列分式來表達

q=a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1.

那么如何從上式中出現前n項和Sn，即a1+a2+…+an-1+an的形式呢？

很自然地想到等比定理：q=a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1.

結合an與Sn的關系得到q=Sn-a1Sn-an.

整理得（1-q）Sn=a1-anq，以下同思路一的討論.

以上兩種方法推導等比數列前n項和公式，從定義入手給“錯位相減法”一個很完美的思維解釋，可以說掃清了學生的思維障礙.我們體會到推導過程中考慮問題要嚴謹、全面，要適時對公比進行分類討論；從推導過程來看，要重視公比在推導過程中無可替代的地位，深刻理解等比數列五個基本量的作用，體會方程的思想；從思路二的推導過程中借助等比定理，巧妙地向前n項和轉化，體現了轉化和化歸的思想.定義是我們推導前n項和的源泉，定義具有雙重的功能，既為我們判斷一個數列是否為等比數列提供了依據，又可以作為等比數列的最重要的性質，賦予了等比數列更豐富的內涵.

通過對等比數列前n項和的推導，對傳統的推導方法進行了創新，從不同的視角給出了求和公式的兩種推導方法.通過求和公式的推導，使學生對數學思想（分類討論、方程思想、轉化思想）有了更深刻的理解，突出了等比數列定義的重要作用和公比在推導過程中的特殊地位，使學生更加重視對定義的理解和運用.

總之，加強對數學概念和定義的教學是非常重要的.只有充分重視數學概念和定義，用科學、嚴謹的文字、符號或圖形表達定義的本質，通過對概念、定義的聯系、比較，尋找它們的共性和個性，能激發學生的學習欲望，從而提高學生的學習興趣、理解能力和創造性，提升學生的數學素養.