對小學數學抽象素養培育的思考和探究

牛德芳

【摘要】抽象是數學最本質的特征之一，對于數學學科的建設和發展是不可須臾或缺的，但是抽象一詞并不在《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心詞中闡述，再加上一線教師們對課標的解讀程度不同，致使很多教師在上公開課或者是常態課時，經常忽視培養學生的抽象素養，過多地關注課堂情境教學，重視直觀引用和實際應用，導致了學生的抽象思維能力得不到發展.筆者認為抽象思想應該是貫穿于小學整個學習階段的，學生的抽象能力培育對學生的思維能力、邏輯能力等有很好的幫助.

【關鍵詞】抽象；數學學科

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的課程性質提到：“數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展.”可見，學生抽象素養的培養是小學數學課堂教學的重點與本質之一.

史寧中教授認為：“抽象指脫離了具體內容的形式和關系，因此，具有廣泛的應用性.”作為一線數學教師，應該不難理解，數學的概念和運算法則是在現實生活中通過抽象得到的，也就是說數學中的任何概念、定理、法則等，都具有一定的抽象性.雖然在教科書中，我們不曾見到書中寫有“抽象”一詞，但是在課堂中我們常常要求學生用概括性的話語去提煉共同點，用字母符號抽象概括出一組相關聯的算式，用一定的模式或模型解釋具體的事物，其實這些都是抽象素養培育的體現，不過在隨著情境化導入教學、幾何直觀在教學中的強勢應用和解決實際問題的大力推崇，抽象素養的培育似乎已經成為教師們遺忘的思想.

一、直面問題：抽象素養的培育危機

（一）錯失時機的把握，欠缺抽象概念的建立

小學兒童思維的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維形式為主要形式.但這種抽象邏輯思維在很大程度上，仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性.所以，很多教師認為，學生接觸抽象思維能力，應該或者必須先以具體形象思維為初始，然后，慢慢過渡到抽象思維，所以他們就認為學生的抽象思維能力的培養應該在中高年級甚至是高年級，而低年級或者中年級以具體形象思維培養為主就行了.

其實，可以回憶一下，在低年級從認識10以內的自然數說起，抽象就開始伴隨著教學的進程.例如，1，2，3等數的認識.到了中年級，學生學習小數和分數的認識，比如，認識二分之一或者幾分之一，就是抽象的學習.當然，到了高年級，百分數的認識等就更為抽象了.當然，這些屬于數的抽象一類，其實除了數的抽象外還有圖和形的抽象，比如，線段的初步認識，是讓學生先觀察毛線再拉直，從而抽象出線段.很多教師在教學的時候，只是將這些內容作為一節課來教，而沒有認識到其實就是在引導學生培養抽象素養的過程.所以，課堂欠缺了抽象思維的引領，影響學生后續抽象學習，導致抽象概念的建立不明確.

（二）止步于直觀層面，忽視抽象素養的培育

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確提出，要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系.其實，課標也在提醒教師們不要只偏向于直觀，只停留于直觀，而不向深層次去發掘學生的思維潛力.

比如，在學習比較分數大小的時候，教師出示題目比較二分之一和三分之一的大小，有學生回答要看圓的大小才能判斷，也就是有三種情況，這時教師只是分析學生沒有認清是同一個圓，不同圓的幾分之一不能比較，而沒有從數的本身去分析，結果學生只會對分印象深刻，對數的認識很單薄.再比如，六年級表面積的學習中，經常會遇到求幾個正方體拼成的不規則的立體圖形，讓學生求表面積的大小，有些學生仍然用數出面的個數再計算總的表面積的方法，教師沒有指出這種方法的好壞，其實教師的本意是遵循學生的想法，因為比較直觀地“數”出小正方形的個數畢竟較為容易理解，可是，教師應該引導學生學會從立體圖形抽象出左面（或右面）、上面（或下面）、前面（后面）的圖形，然后，用數學算式的方法進行計算，這種方法比第一種方法要有思維含量，不是拘于現有的直觀圖解決問題.

（三）本質上忽略抽象教學，推遲學生抽象能力的發展

由于在課標中沒有明確定義抽象的概念和抽象的教學要求，所以很多教師基本上從本質上忽略抽象教學，很多時候都是在新授課結束后，進行鞏固練習和課外提升，但是往往都是從題目的難度上去考慮的，并非是從數學最終的本質抽象素養去考慮的.

二、尋求途徑：抽象素養的培育道路

（一）以生為本，把握抽象素養培育的時機

從小學數學的角度看，抽象主要包括數與數量關系的抽象、圖形與圖形關系的抽象.史寧中教授將抽象的深度大體分為三個層次.1.簡約階段：把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達.2.符號階段：去掉具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的實物在內的一類事物.3.通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物.仔細分析史寧中教授將抽象深度分為的三個層次，其實簡約階段的抽象深度，就是學生在低年級學習中應達到的程度；符號階段的抽象深度，就是學生在中高年級學習中應達到的程度；第三階段的抽象深度，就是學生在初高中學習中應達到的程度.這樣的明確區分，也為教師們對學生抽象思想的培育方向提供了有利的證據，也就是說，需要教師把握時機，讓學生的抽象能力能夠在他們不同的階段適當地發展.

學生在低年級學習11～20的認識時，也有抽象的思想，因為這些數相比1～9這些數來說較為復雜，但是這些數都是用了0～9這些數字符號進行組合，不過在意義上截然不同，需要教師們通過簡單化、條理化的表述引導學生理解.

比如，學生在中年級學習長方形和正方形時，遇到這樣一個問題：有兩個長方形，長都是4厘米，寬都是2厘米，你會把它們拼成長方形或者正方形嗎？拼成的圖形的周長是多少？

這道題目，先讓學生用準備好的兩個完全一樣大小的長方形拼一拼，發現會拼成兩種不同的圖形，一個是長方形，一個是正方形.啟發學生，讓學生去計算一下拼成的兩個圖形的周長，發現長方形的周長是32厘米，而正方形的周長是16厘米.

師：為什么都是用兩個同樣大小的小長方形拼成的圖形，但是周長卻不相同呢？

同桌交流思考.

生1：因為它們拼成的圖形不一樣.

生2：我覺得它們拼成的圖形周長不一樣是因為長方形的周長實際上是4個原長與2個原寬的和，而正方形的周長是4個原寬與2個原長的和，肯定是長方形的周長大于正方形的周長.

師：能說得再清楚點嗎？

生：那我在黑板上來寫一寫吧.

學生寫下了下面的式子.

長方形的周長=4個原長+2個原寬

=2個原長+2個原長+2個原寬

正方形的周長=4個原寬+2個原長

=2個原寬+2個原寬+2個原長

生2：那么2條長肯定比2條寬要長，所以長方形的周長大于正方形的周長.

師：同學們，這名同學的做法一目了然，我們還可以將長方形的周長中相同的部分畫去，最后，發現就拿2個原長和2個原寬做比較，更加一目了然.

新課程理念中，提倡學生要“開放”，而開放程度越高，學生的思維就越高，教師鼓勵學生的想法多樣化有個性，這名學生的想法意境屬于符號階段的想法了，他能夠通過用代數的做法來解決這個問題，具有抽象性，應順應學生的想法，搭建抽象能力提升的平臺.

（二）正確處理直觀與抽象的關系，重視抽象要求的體現

在教學中，我們可以通過直觀逐步抽象出數學概念，為抽象的能力提高鋪平道路，但是也要正確衡量直觀與抽象的關系，直觀教學的不斷深化，導致學生都失去了本有的抽象能力，其實過度地直觀，有時候會讓學生的大腦活動不起來.

比如，學生在學習認識分數時，教師一般會通過大量的操作，幫助學生理解直觀與抽象之間的聯系，讓學生把正方形、長方形、圓等，平均分成若干份，取其中的一份或幾份進行觀察，接著在大量具體分數的基礎上，概括出分數的定義，這樣的完整過程，就是不斷體會概念的過程，幫助學生逐步形成抽象概括的能力.

可見，對于抽象與直觀的關系，需要認真拿捏，既可以通過直觀教學，為學生建立“逐步抽象”做準備，又要通過從直觀到抽象轉折處進行引導，進而處理好直觀與抽象的關系.

（三）厘清抽象本質，明晰學生抽象能力的提升

數學抽象是對現實世界具有數量關系和空間形式的真實材料進行加工、提煉出共同的本質屬性，用數學語言表達進而形成數學理論的過程.根據小學生的心理特點和規律，小學數學的教學往往重操作和直觀，但是操作和直觀是教學的手段而非目的，要在適當的時機進行適度的抽象，由于數學抽象在數學中及教學過程中無處不在，所以這對發展學生的抽象思維能力和認識數學的本質是有好處的.

三、潛移默化：抽象思想的滲透意義

（一）抽象思想的滲透——發展學生抽象思維能力

抽象思維是指在思維過程中以概念、判斷、推理的形式來反映事物本質屬性和內在規律的思維，教師的課堂注重了學生抽象素養的培育后，學生就能夠借助語言、運用符號和概念進行數學運算和推導了，從而能使得學生今后適應更難的數學學習.也可以說，通過學習數學培養學生的抽象能力，對于學習其他學科，對于研究解決其他領域的問題，對于今后在各種場面對事物錯綜復雜的多種因素，主動進行舍去次要因素、提取主要因素的分析活動，都是一種能夠有效遷移的能力訓練.

（二）抽象思想的滲透——發展學生構建數學建模的能力

列寧說過：“認識是人對自然界的反映，但是這并不是簡單的、直接的、完全的反映，而是一系列的抽象過程，即概念、規律等的構成、形成的過程.”而模型思想建立的本質，就是使學生體會和理解數學與外部世界的聯系，其實，學生在學習過程中，總是從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，從而形成運用模型去進行數學思維的習慣，在建構模型的能力的發展中，需要抽象思維的推動，比如，數概念的模型、運算模型、方程模型等，其實，都需要以抽象思想為前提.

（三）抽象思想的滲透——提升學生學科核心素養

數學是研究數量關系和空間形式的科學，那么數學課程中抽象素養的培育無疑是對學生學科素養的提升，在學習抽象得出的知識的同時，更多地要學習抽象概括的方法，以求知出數學最本質的內涵.我們都知道數學素養是必備的條件，而核心素養的概念界定是這樣的：是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.抽象的思想無論在今后的數學學習還是生活中，對人的發展和進步都有著不可或缺的作用.

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