四色定理的簡(jiǎn)單證明

曹晟

【摘要】四色定理的本質(zhì)就是在平面或者球面上無法構(gòu)造五個(gè)或者五個(gè)以上兩兩相連的區(qū)域，通過對(duì)問題的邏輯思維抽象，可以在二維空間內(nèi)證明.而對(duì)四色定理本身的研究，也會(huì)因不同的思維模式促進(jìn)新思想理論的產(chǎn)生，進(jìn)而推進(jìn)數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】四色；三角形；拓?fù)?/p>

一、四色定理思考過程

四色定理作為世界數(shù)學(xué)三大猜想之一，于1976年6月，在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，結(jié)果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動(dòng)了世界.

但是這種證明并不是一位數(shù)學(xué)愛好者真正想要的，這個(gè)問題本身不應(yīng)該用到這么復(fù)雜的計(jì)算手段，而是存在一種簡(jiǎn)單的書面證明，可以以一種直觀、便于交流的方式去體現(xiàn)四色定理的正確性.同時(shí)，我一直認(rèn)為利用圖形來解決這個(gè)問題是最好的方法，也是最簡(jiǎn)單的方法，隨后我做了如下思考：能否脫離地圖本身的限制，將地圖上各個(gè)區(qū)域之間的邏輯關(guān)系在另一個(gè)二維平面內(nèi)展現(xiàn)出來？

對(duì)此，我進(jìn)行了如下的邏輯抽象變換：

1.將地圖上不同的區(qū)域用不同的點(diǎn)來表示.

2.點(diǎn)與點(diǎn)之間的連線用來表示地圖上兩區(qū)域之間的相鄰邏輯關(guān)系，所以，線與線之間不可交叉，否則就超越了二維平面，而這種平面我們可以暫時(shí)稱它為邏輯平面，它只反應(yīng)區(qū)域之間的關(guān)系，并不反應(yīng)實(shí)際位置.

通過以上的變換處理，可以將對(duì)無窮盡的實(shí)際位置的討論，變?yōu)橛袟l理、可歸納的邏輯關(guān)系的討論，從而提供了簡(jiǎn)單書面證明的可行性.

二、四色定理證明過程

現(xiàn)在設(shè)有一對(duì)相鄰區(qū)域A和B，若染色，只需A，B兩種顏色即可，但若想用到第三種顏色，則需要在二維平面內(nèi)畫出另一區(qū)域，使其同時(shí)與A，B兩區(qū)域相鄰，如圖1.

這種情況使用了A，B，C三種顏色，且必須要用三種顏色，同理，若想用到第四種顏色，就必須創(chuàng)造出第四個(gè)區(qū)域使其在二維平面內(nèi)同時(shí)與A，B，C三個(gè)區(qū)域相鄰，如圖2.

這個(gè)地圖一共使用了四種顏色，那么是否可以用到第五種顏色還需進(jìn)一步討論.現(xiàn)在，我要用以下兩步把這個(gè)圖形抽象出來.

當(dāng)平面內(nèi)只有A，B這兩個(gè)相鄰區(qū)域時(shí)，可如圖3表示.

此時(shí)只需A，B兩種顏色.若必須用到第三種顏色時(shí)，創(chuàng)造C點(diǎn)，必須同時(shí)與A，B相連，如圖4.

現(xiàn)在二維平面被△ABC分成了兩部分，若必須用到第四種顏色時(shí)，需在△ABC內(nèi)或△ABC外找一點(diǎn)D，使之同時(shí)與A，B，C三點(diǎn)相連，且不可相交.如圖5、圖6.

圖5圖6

圖7可以看出，當(dāng)點(diǎn)D與A，B，C三點(diǎn)相連時(shí)，雖然D點(diǎn)所處區(qū)域不同，但A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)線關(guān)系結(jié)構(gòu)并未發(fā)生變化.

上面這個(gè)圖形的點(diǎn)線關(guān)系，代表了所有必須要用到四種顏色的地圖的最簡(jiǎn)關(guān)系，換句話說，也就是所有必須要用到四種顏色的地圖，都可以抽象出這個(gè)結(jié)構(gòu)圖形，我們暫且稱它為四色分割三角形.

現(xiàn)在，這個(gè)圖形將二維平面分成了1，2，3，4四個(gè)區(qū)域，接下來討論第5個(gè)點(diǎn)E的情況，若想用到第五種顏色，則必須使點(diǎn)E同時(shí)與A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)相連，且不可以交叉，那么根據(jù)區(qū)域的不同，只存在以下四種情況.

1.點(diǎn)E處在1區(qū)域時(shí)，由于限定條件，E點(diǎn)只能與A，B，D三點(diǎn)相連，那么，可以用C點(diǎn)顏色來涂E，不需要第5種顏色.

2.點(diǎn)E處在2區(qū)域時(shí)，由于限定條件，E點(diǎn)只能與A，C，D三點(diǎn)相連，那么，可以用B點(diǎn)顏色來涂E，不需要第5種顏色.

3.點(diǎn)E處在3區(qū)域時(shí)，由于限定條件，E點(diǎn)只能與B，C，D三點(diǎn)相連，那么，可以用A點(diǎn)顏色來涂E，不需要第5種顏色.

4.點(diǎn)E處在4區(qū)域時(shí)，由于限定條件，E點(diǎn)只能與A，B，C三點(diǎn)相連，那么，可以用D點(diǎn)顏色來涂E，不需要第5種顏色.

綜上所述，在二維平面內(nèi)不存在點(diǎn)E可以構(gòu)造五個(gè)或者五個(gè)以上兩兩相連的區(qū)域.