用“反思”之匙，開“疑難”之門

范志文

【摘要】新課程標準中對空間與圖形教學要求是學習有條理的思考與表達，感受公理化思想，發展空間觀念.在多年的一線教學實踐中，碰到了許多疑難問題，本文歸納了四種類型并進行了反思.

【關鍵詞】空間與圖形；疑難；反思

使用浙教版數學教材已有十余年的時間了，在經歷課改的過程當中，教師們的教學思想和教學理念發生了一些實質性的轉變，在教學當中有一些新的探索.在這些可喜的變化的同時，也真切地感受到新理念的實施的困難，在教學中碰到了許多新的疑難問題.

在“空間與圖形”這塊內容中，知識的呈現有“雜亂”的感覺，甚至有些不合時宜；一些知識點對學生要求過高，讓學生感覺無從下手；數學語言的運用訓練習題太少，導致學生使用數學語言論證時，條理不清，言不由衷；學生解題時，往往找不到突破口，或考慮不全面，欠缺臨門一腳，如同一葉障目.

疑難一：不合時宜——教材編排順序亂

新教材過早地出現幾何論證推理，只不過把“證明”換成“說明理由”罷了.對初一學生來說，要求其規范縝密推理難度太大，但若不要求其規范縝密推理，會給后續學習造成隱患，因為習慣一旦養成很難改正；教材中有許多知識點出現在習題之后的現象，對應知識點還沒學習，而習題中有相關要求.

案例1在七年級上冊第七章和下冊第一章中的課內練習和作業題就大量出現幾何說理題，有的習題還有一定難度，如，七年級上冊第七章第五節作業題第5題：如圖，E是直線AC上的一點，EF，EG分別是∠AEB，∠BEC的平分線，求∠GEF的度數.然而，要在八年級下冊才能學習證明的方法、步驟和推理過程，現卻要求剛開始接觸幾何的七年級學生來說理，會不會過高一點呢？所以，從這一點上講，說理過程成了七年級學生的難點.

案例2七年級下冊在“三角形全等的條件”一節時，教材安排了充分的實踐、探索和交流的活動，要求學生分別畫出符合條件的三角形后，經過比較分析，再歸納出三角形全等的條件，這就需要“作三角形”的知識，才能進行一系列的實踐活動，而“作三角形”的知識則是下一節的內容，如果按照教材的教學思路去教學時，學生顯得茫然，不知所措.本節課的重點則發生遷移，轉移到如何畫三角形.這樣學生對知識的理解呈現出一種“雜亂”的感覺，效果欠佳.此外，例2是學生第一次遇到的規范尺規作圖題，等學生畫好圖后，也不知道這就是尺規作圖法.因為尺規作圖法的概念卻在下一節“作三角形”才予以闡述，其編排順序有點亂.

反思新教材編寫時考慮了很多新課程的理念，如，探索圖形的基本性質，豐富對空間圖形的認識和感受，與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理地思考與表達，然而，教材中很多知識點、很多習題出現的時機不當，給人一種雜亂的感覺，教材的編排順序欠妥，筆者建議有必要做一些調整.除去教材中的客觀問題外，也從另一層面上對教師提出了更高要求，只有教師練好內功，提升自身素質，才能在碰到類似問題時，給學生一個合理的解釋，對學生提出一個適當的要求，指引學生走向正確的方向，避免學生只知其然，不知其所以然的現象發生.

疑難二：無從下手——尺規作圖難操作

新課程標準中要求能通過觀察、實驗、歸納、類比等方法獲得數學猜想，并進一步給出證明或舉出反例.在實際教學中，為了提高學生的動手實踐能力，經常讓學生動手操作，但學生操作往往需要較多的時間，其他的教學內容有時就完成不了，而且許多學生根本就不會操作.尺規作圖中，標準的統一、作圖工具的選擇，也會讓學生無所適從.

案例1“勾股定理（2）”中，畫三個邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm；5 cm，12 cm，13 cm；8 cm，15 cm，17 cm的三角形，學生在實際畫圖中畫邊長為8 cm，15 cm，17 cm的三角形許多學生有困難，同時，也不容易操作.

案例2“等腰三角形的判定”中，先讓學生畫一個有兩個角相等的三角形，沒有要求用什么工具，學生也會有疑惑.

案例3作一個直角邊長為a，斜邊長為c的直角三角形中的直角應怎樣作，教材也沒有明確的要求，而參考答案中的作法是先作AC⊥BC，但作垂線不屬于基本作圖.

反思針對上述問題，教師在設計操作題時要充分考慮可操作性，讓學生課前準備相關材料來節省時間；課堂教學中采取分組學習的形式，小組成員互幫互學；有些只有數據不同的操作題，讓學生分組操作得出結論，共享學習成果.在尺規作圖中，教師要著眼于讓學生積累一定的活動經驗并在掌握了一定圖形性質的基礎上，從幾個基本的事實出發，探究一些有關三角形、四邊形的基本性質，不要過分地在意一些細節.

疑難三：言不由衷——語言敘述不嚴謹

七、八年級數學教材和作業的設計中對簡單推理的訓練不多，導致許多學生的條理性不清楚，在使用規范的數學語言表述論證的過程中，感到言不由衷，表達不準確.

案例1結論“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”用幾何語言敘述時，很多學生敘述成“因為CD是△ABC的中線，所以CD等于AB的一半”，漏了直角的條件.

案例2已知：如圖1，∠A=∠CDF，∠C=∠E，且AD=BF，請說明AE=DC.很顯然這里要先說明△AEF≌△DCB，學生在敘述兩個三角形全等時，會把AD+DF=BF+DF作為全等的條件，表述上欠規范.

案例3證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”時，如，已知：如圖2，在△ABC中，∠C=∠B.求證：AB=AC.學生已學過等腰三角形的三線合一，因此，作輔助線時學生就會出現過點A作BC的中垂線AD，垂足為D.又如，已知：如圖3，AB=AC，∠C=∠B，則BD=CD，請說明理由.有許多學生這樣作輔助線：連接AD使AD平分∠BAC.學生在敘述輔助線時經常出現不規范，這樣的例子舉不勝舉.

反思新課標指出讓學生體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想.顯而易見，數學語言的熟練準確運用是對學生的基本要求.數學語言有自身的簡潔之美，能充分訓練學生的邏輯思維能力，因此，教師要重視學生敘述證明過程的練習，加強對圖形性質的格式化訓練，如，運用性質說明理由時，一定先弄清條件；強調說理過程中的每一步都有理有據；熟記性質定理等等.為了讓學生在證明過程中能完整地有條理地表述，教師要多嘗試.

疑難四：一葉障目——解題思路不清晰

在空間幾何圖形中，需要一定空間想象能力，具備圖形間的相互轉化能力，而在實際教學中會發現，一些學生在分析的過程中局限于現實生活，受困于經驗不夠，能力不足.常常被遮擋了雙眼，影響了解答的準確性和全面性.

案例1一個臺階如圖所示，階梯每一層高20 cm，寬40 cm，長50 cm，一只螞蟻從A點爬到B點，最短的路程是多少？

解按照直棱柱的表面展開圖知識，最短距離為

AB=502+（20+40+20+40）2=130（cm），

但在作業中卻出現了

AB=50+（40+40）2+（20+20）2=50+405（cm）.

事后，我問了這名學生，他說：“是沿著側面走過來的.”

案例2（1）有一個立方體紙盒，立方體的棱長為2 cm，在A處有一只螞蟻，在B處有一粒蜜糖，螞蟻想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解只要將1平面和3平面展開，根據兩點之間線段最短，可知從A到B最短路程就是線段AB=25 cm.

（2）有一個長方體紙盒，長方體的長為2 cm，寬為3 cm，高為1 cm，在A處有一只螞蟻，在B處有一粒蜜糖，螞蟻想吃到蜜糖，所走的最短路程是多少？

解分為3種情況討論知：

將1平面和2平面展開，可知從A到B路程是線段AB=20 cm；

將1平面和3平面展開，可知從A到B路程是線段AB=26 cm；

將2平面和5平面展開，可知從A到B路程是線段AB=18 cm.

兩道題都屬于螞蟻爬的問題，都是通過直棱柱的表面展開圖來求最短路程.在教學立方體時，由于六個面都是正方形，所以就把三種情況歸結為一種情況，并未做分類討論，從而導致了將立方體改為長方體時，學生也未進行分類討論，學生還是想當然地認為最短路程還是將1平面和2平面展開.

案例3如圖，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=6 cm，點E為AB邊上的任意一點，四邊形EFGB也是矩形，且EF=2BE，則S△AFC=cm2.

剛開始我認為用直接法來完成，可發現用直接法完成，學生在計算上存在著很大的困難.于是我想到了代數中有特殊值代入法，那么幾何中是否也可以有這種特殊點代入法呢？

由于點E為AB邊上的任意一點，所以將點E轉化為特殊的點，即AB邊上的中點或運動到A點或B點，這時問題就容易解決了，學生也容易理解.

反思新課標中要求學生學習平移、旋轉、對稱的性質，學會分類、轉化、歸納，欣賞體驗變換在生活中的應用，學習運用坐標系確定物體位置的方法，發展空間觀念.這就要求教師具備處理教材的能力：適當地增補說明，如，案例1中要對圖形做一個補充規定，不考慮從側面的路徑；內容的補充擴展，如，案例2中，就要補充長方體的題型，利用第二節課進行實物演示，讓學生體會到不管是立方體還是長方體，都是三種情況，必須先做分類討論，再進行選擇；解題技巧的歸納，如，案例3中，常規解法存在運算量大、運算復雜、學生難掌握的問題，采取特殊法，問題就迎刃而解了，但需用強調的是此種解法只適用于選擇題和填空題中，而不適用于解答題.

新課程改革具有長期性、復雜性和艱巨性，因而，在教學中我們碰到疑難問題遠不止這些，需要大家的共同努力.只要全身心地投入，正視問題，研討解決疑難問題的方法，辦法總比困難多.