順勢(shì)而為溯源明道提煉優(yōu)術(shù)

范志文

習(xí)題課是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要課型，如果教師在教學(xué)傳授中方向不明、深度不夠、方法不當(dāng)，那么學(xué)生就看不清知識(shí)的發(fā)展趨勢(shì)，不能明白知識(shí)的真諦，無(wú)法提升自身的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生負(fù)擔(dān)就會(huì)過(guò)重，總體效果也不明顯.惟有深入研究試題，進(jìn)而加深對(duì)課標(biāo)和教材的理解，才會(huì)發(fā)現(xiàn)習(xí)題教學(xué)引導(dǎo)功能和教學(xué)價(jià)值，使教師的教學(xué)工作游刃有余.帶著這些思考，筆者結(jié)合日常教學(xué)，通過(guò)具體案例談?wù)剛€(gè)人對(duì)習(xí)題教學(xué)中的“取勢(shì)、明道、優(yōu)術(shù)”三個(gè)層面的認(rèn)識(shí).

一、且做且思提煉結(jié)論順勢(shì)而為

習(xí)題教學(xué)的最終目標(biāo)是追求解題“隨機(jī)而發(fā)，順勢(shì)而為”，從而使解題變得快速而精確，充滿(mǎn)穿透力.提煉“基本結(jié)論”是解題高效的最好保障.當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)自覺(jué)地反思、推進(jìn)、提煉的時(shí)候，解題將會(huì)充滿(mǎn)樂(lè)趣.

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），直線(xiàn)y=kx-3k+4與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為.

解如圖2，因?yàn)橹本€(xiàn)y=kx-3k+4必過(guò)點(diǎn)D（3，4），且OD=5，⊙O的半徑為13，所以D（3，4）在⊙O內(nèi)，因此，過(guò)點(diǎn)D（3，4）的最短的弦BC與OD垂直.

連接OB.在Rt△BOD中，OB=13，OD=5，所以BD=12.故BC的長(zhǎng)的最小值為24.

提煉結(jié)論過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂直的弦最短.

例2如圖3，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG，連接AE，若DE=BC=2，將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值.

解當(dāng)正方形DEFG繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心，2為半徑的圓上，此時(shí)點(diǎn)A在該圓內(nèi)，所以當(dāng)線(xiàn)段AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)AE的值最大（如圖4），這時(shí)AE=3，EF=2.又因?yàn)椤螮=90°，所以由勾股定理，得AF=32+22=13.

提煉結(jié)論如圖5，若點(diǎn)P不在⊙O上，射線(xiàn)OP交⊙O于M，射線(xiàn)OP的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于N，則點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中，點(diǎn)P到M的距離最小，點(diǎn)P到N的距離最大.

例3如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（6，0），B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在半徑為3的⊙O上，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積最大值.

解如圖7，因?yàn)椤鱋AB為等腰直角三角形，所以AB=2OA=62.

當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大.

過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D，OD的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于C，此時(shí)點(diǎn)C到AB的距離最大.OD=12AB=32，所以CD=OC+OD=3+32.

圖8△ABC的面積為12AB·CD=12×62×（3+32）=92+18.

提煉結(jié)論如圖8，直線(xiàn)l與⊙O相離，線(xiàn)段OP⊥l，垂足為P，交⊙O于點(diǎn)M，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)N，則⊙O上各點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離中，最小距離是PM，最大距離是PN.

例4如圖9，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線(xiàn)PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線(xiàn)PQ的最小值為.

解如圖10，連接OP、OQ.由PQ是⊙O的切線(xiàn)，得QO⊥PQ.由勾股定理，得PQ=OP2-OQ2.因?yàn)镺Q=3是定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，線(xiàn)段PQ最小，即當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線(xiàn)段PQ最短.

在Rt△AOB中，OA=OB=32，

所以AB=2OA=6，OP=OA·OBAB=3.

所以PQ=OP2-OQ2=32-12=22.

即PQ的最小值為22.

提煉結(jié)論直線(xiàn)l與半徑為r的⊙O相離，圓心O到直線(xiàn)l的距離為d，點(diǎn)P為直線(xiàn)l上任一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則PA的最小值是d2-r2.

顯然，有了這些結(jié)論的提煉，學(xué)生可以摸透命題的態(tài)勢(shì)和發(fā)展走向，解題順勢(shì)而為，并且可以借鑒這些結(jié)論舉一反三，觸類(lèi)傍通，輕松解決同一類(lèi)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題.基本結(jié)論無(wú)窮盡，常做有心人，且思且提煉.

二、回歸課本探究本質(zhì)溯源明道

“以課本為根本”一直是數(shù)學(xué)命題的一大特色，習(xí)題教學(xué)中應(yīng)重視探究習(xí)題的原型，課本內(nèi)的“母題”.以最短問(wèn)題為例，形式各異的考題一般都是從課本出發(fā)，再加以引申和改編.

例5已知，如圖11，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)P到OA的距離之和最小.

解析如圖12，作M關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1，作M1Q⊥OA，交OB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，連接PM，此時(shí)PM+PQ為最小.

課本原型探究“造橋選址”：如圖13，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋EF，橋造在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線(xiàn)，橋要與河垂直）

解析如圖14，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)垂直于河邊，在直線(xiàn)上截取AC等于橋長(zhǎng)，然后連接CB交河邊于點(diǎn)F，最后過(guò)點(diǎn)F作FE垂直于河邊.則EF即為所求的架設(shè)橋的地點(diǎn).分析出“AE+BF”轉(zhuǎn)化為“CF+FB”，從而實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的求解.

例6已知，如圖15，∠MON=30°，A為OM上一點(diǎn)，OA=5，D為ON上一點(diǎn)，OD=12，C為射線(xiàn)AM上任意一點(diǎn)，B為線(xiàn)段OD上任意一點(diǎn)，求拆線(xiàn)AB-BC-CD的長(zhǎng)度的最小值.

解析如圖16，作點(diǎn)D關(guān)于OM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′D′，分別交OM，ON于點(diǎn)C，B，則拆線(xiàn)長(zhǎng)最小值為AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′.在直角三角形A′OD′中，∠A′OD′=90°，OD′=12，OA′=5，所以A′D′=13，即折線(xiàn)AB-BC-CD的長(zhǎng)度的最小值為13.

課本原型探究“將軍飲馬”：如圖17，將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

解析如圖18，作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1B，交河岸于P點(diǎn)，邊接AP，則AP+PB就是最短路徑.很顯然“AP+PB”最小轉(zhuǎn)化為“A1P+PB”最小，利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”.

通過(guò)課本原型探究，不僅可以讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”和“垂線(xiàn)段最短”是最短問(wèn)題的核心依據(jù)，掌握“平移、旋轉(zhuǎn)、翻折”等基本方法；熟練運(yùn)用“作圖、計(jì)算、推理”等基本手段，而且讓學(xué)生明白了知識(shí)的真諦，成就了解題的大智慧.

三、一題多解舍繁求簡(jiǎn)提煉優(yōu)術(shù)

習(xí)題教學(xué)既要關(guān)注方法的多樣化，又對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化，那么教學(xué)效果定能明顯提高.通過(guò)方法比較，使學(xué)生從多個(gè)角度思考問(wèn)題，形成多樣化的問(wèn)題解決意識(shí)，又幫助學(xué)生舍繁求簡(jiǎn)，歸納提煉了思考問(wèn)題的基本方法和途徑.

例7（2015寧波中考例卷）如圖19，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E、F分別在AB，BC，AC上，DE⊥BC，DF⊥AC，則EF的最小值是.

解設(shè)DF=x，由題設(shè)知DF∥CE，則△AFD～△ABC，則AF=43x，F(xiàn)C=8-43x，EF=FC2+CE2=43x2+8-43x2，即EF=259x2-693x+64，根據(jù)二次函數(shù)可求出EF的最小值為4.8.

方法優(yōu)化如圖20，連接CD，由題設(shè)可知四邊形FDEC為矩形，則CD=EF，故EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CD的最小值，所以當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD最小，利用“等積法”易求出此時(shí)CD的最小值為4.8.

例8如圖21，△ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心I作DE∥BC，分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，求DE的長(zhǎng).

解設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，BC邊上的高為h.由三角形的面積公式得12r·AB+12r·AC+12r·BC=12h·BC，即12r×（7+8+9）=12h×8，所以r=13h.因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE～△ABC，DEBC=h-rh，即DE8=h-13hh，所以DE=163.

方法優(yōu)化如圖22，連接BI、CI，因?yàn)椤袸為△ABC的內(nèi)切圓，所以∠DBI=∠CBI.因?yàn)镈E∥BC，所以∠DBI=∠IBC，∠DBI=∠DIB，所以DI=DB.同理IE=EC，所以DE=DI+IE=DB+EC.所以△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=16.因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE～△ABC.所以C△ADEC△ABC=DEBC，即1624=DE8.所以DE=163.

例9如圖23，已知四邊形ABCD為直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面積.

解如圖24，作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分別M，N.設(shè)AB=m，PM=x，PN=y，則x2+y2=4，

x2+（m-y）2=1，

（m-x）2-y2=9， 解得m2=5±22.由題設(shè)取m2=5+22，

故S梯形ABCD=m·m2+m2=34m2=154+322.

圖25方法優(yōu)化如圖25，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBE.連接PE，則△PBE為等腰直角三角形，∠PEB=45°，所以PE2=BP2+BE2=8，EC2=1.所以PE2+CE2=9=PC2，故∠PEC=90°，∠BEC=135°，作BF⊥CE交CE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠BEF=45°，

所以BF=EF=22BE=2，F(xiàn)C=2+1，

于是BC2=BF2+FC2=5+22.

故S梯形ABCD=12（AD+BC）AB=34BC2=154+322.

一個(gè)好的解題方法，一定有方法常用、思路常見(jiàn)、運(yùn)算簡(jiǎn)潔等特征，以上三個(gè)例題的優(yōu)化方法正是如此，不僅大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，解題中所涉及的知識(shí)與方法都是平時(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)，反復(fù)用到了.通過(guò)這種對(duì)比，能夠激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的欲望，從不同的角度去研究一個(gè)題目的解法，尋找更有價(jià)值的解題方法，從而大大提升自身的數(shù)學(xué)水平和解題技巧.

“順勢(shì)而為”是讓學(xué)生看清命題的發(fā)展趨勢(shì)及導(dǎo)向，“勢(shì)”往往無(wú)形，卻具有方向；“溯源明道”讓學(xué)生回歸教材，明白知識(shí)的規(guī)律、原則，明確自己的學(xué)習(xí)方向，擺正自己的位置；“提煉優(yōu)術(shù)”讓學(xué)生不斷提升方法，探索和積累實(shí)用的策略，積淀適合于自己的解題經(jīng)驗(yàn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]范建兵.追“本”溯源，品味“最短問(wèn)題”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（2）.

[2]田傳弟.聚焦中考熱點(diǎn)之圓中的幾何最值問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）.