直線與圓錐曲線交匯問題的合理解答

摘 要在高中數(shù)學(xué)考試中，圓錐曲線問題始終是主要的考點，特別是直線和圓錐曲線交匯的問題，出現(xiàn)的頻率相對較高。借助這種類型的試題，能夠?qū)ξ覀冋莆請A錐曲線性質(zhì)、公式運用與解析幾何當中的數(shù)學(xué)思想予以綜合考查，與考試大綱提出的要求相吻合。為此，作為高中生，在學(xué)習(xí)與練習(xí)的過程中，對直線與圓錐曲線交匯問題的解答技巧進行了歸納與總結(jié)，以期能夠為廣大高中生對這部分知識的學(xué)習(xí)提供有價值的參考。

【關(guān)鍵詞】直線；圓錐曲線；交匯問題；解答

1 設(shè)而不求的解答方法

通常情況下，對于直線和圓錐曲線綜合問題解答的最常見方法就是對其交點坐標進行設(shè)置，在直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立的基礎(chǔ)上，代入并消元，進而轉(zhuǎn)變成僅含有一個變量的一元二次方程。隨后，借助判別式、根與系數(shù)之間存在的關(guān)系即可獲得兩個坐標的和、乘積和斜率關(guān)系。通過對關(guān)系的靈活運動來代表弦長和焦點三角形面積等等，最終求解出題目的結(jié)果。

例題一：已知，橢圓的方程為

，同時，橢圓的離心率是。其中，F(xiàn)代表了橢圓右焦點，且直線AF斜率是

，坐標原點由點O表示。

問題：假設(shè)過點A動直線m和橢圓相交，交點分別為P與Q兩點，在三角形OPQ面積取得最大值的情況下，試求出直線m的方程式。

試題解析：首先，需根據(jù)已知條件求解出橢圓的方程式，即為

。其次，考慮直線m與x軸相互垂直的情況，與題意不相吻合。在這種情況下，即可將直線m的解析式設(shè)成y=kx-2，與此同時，交點P和Q的坐標分別設(shè)置為。隨后，可以將直線m的方程帶入到橢圓方程當中，即可得出。而，所以在

的情況下，可以計算出P與Q兩點之間的距離，即

。在此基礎(chǔ)上，計算坐標原點O與直線m之間的距離是

。所以，三角形OPQ的面積即可表示為

。我們可以假設(shè)，那么在t大于零的情況下，三角形OPQ的面積就是

。然而，由于，且在t取值為2的時候，

的等號成立，并且與相吻合。為此，在三角形OPQ面積取最大值的情況下，k的取值為

，所以最終求得直線m的方程式為

或者是。

總結(jié)：在例題一當中，主要將橢圓作為重要載體的一種解析幾何綜合試題，同時也考查了分類討論、劃歸與轉(zhuǎn)化思想以及計算能力等等。其中，在解答此試題的過程中，充分體現(xiàn)出坐標法、判別式法以及代入消元法等諸多思想方法。除此之外，在計算出三角形面積表達式以后，通過對結(jié)構(gòu)的觀察，借助基本的不等式數(shù)學(xué)知識計算其最大值。但是，在求取的過程中，我們必須具備一定的變形與配湊能力，由此可見，在解決直線和圓錐曲線交匯問題中，要注重基本不等式的應(yīng)用訓(xùn)練。

2 借助定義的解答方法

一般情況下，解析幾何的運算十分復(fù)雜，所以在解題的過程中，應(yīng)當盡可能對試題當中圖形幾何性質(zhì)予以深入挖掘，并且對定義進行靈活地使用，最終找出合理的解題方式與思路，探尋試題解答的具體規(guī)律，這樣能夠在更短的時間內(nèi)完成解答。

例題二：拋物線方程為，經(jīng)過其焦點做直線，傾斜角是60°，并且和拋物線的交點為A和B。其中，點A位于x軸的上方，試求出

的數(shù)值。

試題解析：根據(jù)題目中的已知條件，可以做出圖像，如圖1所示。

經(jīng)過點A與點B作出準線垂直線，即AC與BD。經(jīng)過點B再做出與直線AC垂直的線，即BE。因為AE是AC與CE的差，而CE與BD 相等，由此可以得出，AE是AF與BF的差。而在三角形ABE當中，由于角AFx的度數(shù)是60°，因而AE是AB長度的一半，且角ABE的度數(shù)為30°。基于此，

，最終求取的數(shù)值為3。

總結(jié)：借助圓錐曲線的定義對問題進行解答，通常都和焦點亦或是準線存在一定的關(guān)系。借助定義通常可以實現(xiàn)互相地轉(zhuǎn)化。而針對橢圓與雙曲線則能夠在定義的幫助下，對與焦點距離和與準線距離予以轉(zhuǎn)化。對于定義的靈活應(yīng)用，并與數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想綜合運用，可以找出問題本質(zhì)，并且規(guī)避繁雜計算，簡化了問題的解答過程，對于試題解答十分有利。

3 化繁為簡的解答方法

通常，解析幾何綜合試題的推理與運算相對復(fù)雜，所以在解答的過程中很容易出現(xiàn)錯誤。所以，解析幾何問題的解答重點就是規(guī)避復(fù)雜運算。而解析幾何主要是對代數(shù)方法合理運用，進而對幾何問題進行深入地研究。但從本質(zhì)上來講，始終屬于幾何問題。為此，我們在解答的過程，特別是直線和圓錐曲線的交匯問題，應(yīng)對圓錐曲線幾何性質(zhì)予以充分地挖掘，進而將其所具備的幾何本質(zhì)找出來，即可簡化解答的過程，獲得意想不到的問題解答效果。

4 結(jié)束語

綜上所述，直線和圓錐曲線位置關(guān)系的問題是高中數(shù)學(xué)的重點知識，同時也是綜合運用多種數(shù)學(xué)思想方法的解題方式，在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)較大分值比重。為此，我們在日常學(xué)習(xí)與練習(xí)的過程中，應(yīng)注重知識的歸納與總結(jié)，掌握圓錐曲線與直線交匯問題的解答方式和技巧，只有這樣，才能夠?qū)?fù)雜的解題過程簡單化，回歸圓錐曲線的幾何本質(zhì)，在短時間內(nèi)解決直線和圓錐曲線的交匯問題，為解析幾何知識的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)，并取得理想的學(xué)習(xí)成績。

參考文獻

[1]顧忠華.直線與圓錐曲線交匯問題的合理解答[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（01）：81-83.

[2]劉靜.直線與圓錐曲線問題的套路解法[J].科學(xué)咨詢，2011（23）：68-69.

[3]柏文峰.直線與圓錐曲線位置關(guān)系高考綜合題初探[J].考試周刊，2015（06）：1-2.

作者單位

湖南省常德市第一中學(xué) 湖南省常德市 415000