拋物線中的平行四邊形存在性問題

拋物線中的平行四邊形存在性問題是中考中常考題型，其解決辦法的突破口在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)又快又準(zhǔn)確，然后再畫圖，最后通過計(jì)算解決問題。如果已知三個(gè)定點(diǎn)，則平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)有三種情況，以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)。如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按邊或?qū)蔷€分為兩種情況，然后利用平行四邊形的性質(zhì)找到相等關(guān)系而解決問題。下面通過幾道中考例題具體說明拋物線中的平行四邊形存在性的解題策略。

一、已知三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性

例1.已知拋物線[y=-ax2+2ax+b]與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C。

（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，求拋物線的解析式。

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M和（2）中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解：（1）對(duì)稱軸是直線：x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）。

（2）[y=-33x2+233x+3]。

（3）存在。理由：連接AC、BC，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y）

①當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CM∥AB，且CM=AB，AB=4

∴|x|=4，[y=OC=3]。

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M4，3]或[-4，3]。

②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90°

∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC=MB，且AC∥MB

∴∠CAO=∠MBN，∴△AOC≌△BNM，∴BN=AO=1，[MN=CO=3]

∵OB=3，∴ON=3-1=2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M2，-3]

綜上所述，[M14，3]，[M2-4，3]，[M32，-3]

點(diǎn)評(píng)：本題已知三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，如果沒有規(guī)定由三點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為邊或?qū)蔷€，則三種情況都必須考慮。

二、兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性

例2.拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點(diǎn)。

（1）求該拋物線的表達(dá)式。

（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）拋物線的表達(dá)式為[y=13x2-23x-1]。

（2）①當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，這時(shí)，將合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為P1，P2。此時(shí)[P14，53]，P2（-4，7）。

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，記為P3，此時(shí)P3（2，-1）綜上所述，[P14，53]，P2（-4，7），P3（2，-1）。

點(diǎn)評(píng)：本題已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找到相等關(guān)系而解決問題。

例3.已知：如圖，關(guān)于x的拋物線[y=ax2+x+ca≠0]與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式。

（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？

解：（1）拋物線解析式為[y=-14x2+x+3]，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）。

（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），直線AD的解析式為[y=12x+1]。

（3）直線[y=12x+1]與拋物線對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，2）。

假設(shè)x軸上動(dòng)點(diǎn)Q（m，0），以A、M、Q頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。

若以MQ為對(duì)角線，則P1（m+4，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AM為對(duì)角線，則P2（-m，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AQ為對(duì)角線，則P3（m-4，-2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=6±26]。

綜上所述：[Q122-2，0]，[Q2-22-2，0]，[Q36-26，0]，[Q46+26，0]。

點(diǎn)評(píng)：先假設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其看成一個(gè)定點(diǎn)，按照平移的性質(zhì)，寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由另一動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件，求出相應(yīng)的坐標(biāo)。

因此，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)活動(dòng)中，要加強(qiáng)對(duì)新課程的研究，滲透新課程的理念，按照新課程的要求及時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，這樣才能從教材簡(jiǎn)單的例、習(xí)題中獲得解決問題的新方法、新思想，才能引導(dǎo)學(xué)生重視教材，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生探索的能力和創(chuàng)新的意識(shí)。

作者簡(jiǎn)介：

婁霖林（1980—），男，漢族，湖北潛江人，本科，二級(jí)教師，初中數(shù)學(xué)教師。