趣味“海盜分寶石”問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模

孫慧

【摘要】文章介紹了數(shù)學(xué)建模的一般賽事，介紹了什么是數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)建模比賽的形式，通過(guò)一個(gè)經(jīng)典博弈論的小問(wèn)題，介紹了數(shù)學(xué)建模論文的一般格式和步驟，使用逆推歸納法，求解出了這個(gè)經(jīng)典博弈論問(wèn)題的結(jié)果，并給出完整的解決方案，最后總結(jié)給出數(shù)學(xué)建模寫作的一般思路。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；逆推歸納法；博弈論

近年來(lái)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模在國(guó)內(nèi)發(fā)展非常迅速，國(guó)家對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模也越來(lái)越重視，主要的數(shù)學(xué)建模賽事有：全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、數(shù)學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽、美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等，地區(qū)賽有華中賽、華東賽、東北賽、蘇北賽等，我校近幾年在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模中也取得了多次國(guó)家獎(jiǎng)的好成績(jī)。

一、數(shù)學(xué)建模的概念、比賽的形式

數(shù)學(xué)建模是指：面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，人們?cè)谏钊胝{(diào)查研究、了解對(duì)象信息、做出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述，也就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是針對(duì)全體大學(xué)生的，要求學(xué)生不僅僅要數(shù)學(xué)好，對(duì)其他專業(yè)課的學(xué)習(xí)也要求很多，最重要的是考查學(xué)生的自學(xué)能力和吃苦耐勞、團(tuán)隊(duì)合作能力。

參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，一般要求最多三個(gè)人為一個(gè)組，比賽地點(diǎn)沒(méi)有限制，比賽條件要求就是一臺(tái)可以上網(wǎng)的電腦，比賽時(shí)間是三天，三天內(nèi)參賽隊(duì)員可以自己查閱各種書籍資料，但不可以和隊(duì)員以外的其他人進(jìn)行交流，每個(gè)大賽的參賽時(shí)間都是不一樣的，比如五一建模競(jìng)賽是在每年的五一放假三天內(nèi)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是在每年的九月份等，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目和最終論文的提交都是在網(wǎng)上進(jìn)行。

二、舉例子說(shuō)明對(duì)于數(shù)學(xué)建模論文的一般格式和要求

以趣味海盜分寶石問(wèn)題為例，

（一）問(wèn)題重述

5名海盜搶到了100塊金幣，他們準(zhǔn)備采用以下方法分贓，抽簽為每人確定1、2、3、4、5這五個(gè)不同的序號(hào)，先由抽到1的人提出自己的分贓方案，如果他的方案被超過(guò)一半人贊同，就按照他的意見(jiàn)分贓；如果他的意見(jiàn)沒(méi)有得到過(guò)半數(shù)人贊同，他將被扔進(jìn)大海去喂鯊魚，當(dāng)海盜1被投人大海之后，由序號(hào)2重新制定分贓方案，如果海盜2的方案在現(xiàn)有海盜中超過(guò)半數(shù)同意便執(zhí)行，否則也將海盜2投入大海，以此類推。

假定這五個(gè)海盜都是高智商且極其貪財(cái)?shù)模噯?wèn)海盜1會(huì)制定出怎樣的分贓方案，以使自己免于葬身魚腹。

（二）模型假設(shè)

1.假設(shè)五個(gè)人都是非常聰明的人，都可以分得清利害關(guān)系；

2.假設(shè)五個(gè)人之間沒(méi)有恩怨互不認(rèn)識(shí)，沒(méi)有交流；

3.假設(shè)五個(gè)人考慮問(wèn)題優(yōu)先考慮保住性命，然后次要利益最大化；

4.假設(shè)五個(gè)人都嚴(yán)格遵守游戲規(guī)則，不存在暴力行為，在自己利益最大的情況下不會(huì)危及別人生命。

（三）符號(hào)說(shuō)明

i表示五個(gè)人的編號(hào)，i=1，2，3，4，5，

Ai表示第i個(gè)人提出的最優(yōu)方案，

（四）模型建立與求解

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以建立逆推歸納法的模型，也就是從第5號(hào)開始考慮，先分析如果輪到第5號(hào)做決定，他會(huì)做出怎樣的決定，依次倒推到第1號(hào)的決定。

具體過(guò)程如下：

5號(hào)分配方案A5：5號(hào)100個(gè)，

4號(hào)分配方案A4：5號(hào)100個(gè)；4號(hào)0個(gè)，

分析：4號(hào)一個(gè)都不能要，否則5號(hào)不同意，4號(hào)自己同意自己的決定，只達(dá)到半數(shù)的人同意，沒(méi)有超過(guò)半數(shù)，所以5號(hào)不同意，4號(hào)就會(huì)死掉，而4號(hào)一旦死掉，只剩下5號(hào)一人，就可以獲得100個(gè)。

3號(hào)分配方案A3：5號(hào)0個(gè)；4號(hào)1個(gè)；3號(hào)99個(gè)；

分析：如果1號(hào)和2號(hào)已經(jīng)死掉，一旦3號(hào)也死掉，5號(hào)就可以獲得100個(gè)寶石，所以無(wú)論3號(hào)給5號(hào)多少寶石，他都不會(huì)答應(yīng)，所以干脆給5號(hào)0個(gè)，給4號(hào)1個(gè)，因?yàn)槿绻?號(hào)不同意，那么3號(hào)死掉，4號(hào)分配將一個(gè)也得不到，

2號(hào)分配方案A2：5號(hào)1個(gè)；4號(hào)2個(gè)；3號(hào)0個(gè)；2號(hào)97個(gè)；

分析：如果2號(hào)死了，3號(hào)的分配方案就可以獲得99個(gè)，所以2號(hào)的分配方案干脆給3號(hào)0個(gè)，給5號(hào)1個(gè)，4號(hào)2個(gè)，如果4號(hào)5號(hào)不同意，2號(hào)死掉，他們兩個(gè)獲得的分配數(shù)量都會(huì)減少。

1號(hào)分配方案A1：5號(hào)2個(gè)；4號(hào)0個(gè)；3號(hào)1個(gè)；2號(hào)0個(gè)；1號(hào)97個(gè)；

分析：對(duì)于5號(hào)，比2號(hào)分配方案多了一個(gè)，贊成；4號(hào)贊不贊成都無(wú)所謂，這里說(shuō)要利益最大化就不給了，反對(duì)；對(duì)于3號(hào)如果讓2號(hào)分配1個(gè)都沒(méi)，有一個(gè)也不錯(cuò)了，贊成；2號(hào)反對(duì)，無(wú)所謂；1號(hào)自己分配怎么也贊成的。

綜上所述，1號(hào)應(yīng)該提出的最優(yōu)分配方案為A1：5號(hào)2個(gè)；4號(hào)0個(gè)；3號(hào)1個(gè)；2號(hào)0個(gè)；1號(hào)97個(gè)！

三、對(duì)以上數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題的簡(jiǎn)單分析

1.政策制定的人，也就是獲得利益最大的人，當(dāng)然表面看上去也是處境最危險(xiǎn)的人。

2.條件中的五個(gè)人都是非常聰明的人，能夠認(rèn)清楚自己的利害關(guān)系，這個(gè)是很重要的一個(gè)前提條件。

3.在政策制定的同時(shí)，五個(gè)人是相互獨(dú)立的，也就是沒(méi)有交換過(guò)信息，最后，模型的假設(shè)是很關(guān)鍵的，它是模型成立的一個(gè)基礎(chǔ)，去掉一個(gè)假設(shè)，都可能導(dǎo)致模型的錯(cuò)誤。

對(duì)于數(shù)學(xué)建模假設(shè)部分，假設(shè)主要是為了在一定程度上簡(jiǎn)化問(wèn)題，有的實(shí)際問(wèn)題不簡(jiǎn)化也許現(xiàn)有的方法無(wú)法求解或者在大學(xué)階段無(wú)法求解，簡(jiǎn)化也不是無(wú)條件地簡(jiǎn)化，不能讓原問(wèn)題失去本來(lái)的意義，模型的假設(shè)主要是論文的模型成立的條件，也就是論文的模型的解是在哪些條件下才成立的，離開了這些前提條件或許答案就會(huì)發(fā)生改變。