一類不定積分問題的一題多解

摘 要： 我們從一題多解的角度對有理函數和可化成有理函數的不定積分的解題方法做一定探討。

關鍵詞：不定積分 有理函數 一題多解

不定積分是高等數學課程中的一個重要知識點，但由于其題目廣泛，無固定規律，計算方法又靈活多變，所以學生對此類問題的計算往往感覺困難，不知如何下手。為此本文試圖從一題多解的角度考慮一類不定積分問題的計算，開拓學生思路，使其更好地理解掌握不定積分的各種積分方法。

例1 計算 。

解法1 湊微分法（也叫第一類換元積分法）

原式

解法2第二類換元積分法

令

原式

解法3 倒代換

令 ， 則 ， 原式

解法4用待定系數法把有理函數化成部分分式之和，分項積分求出結果

利用待定系數法有理函數得，

例2 計算

解法1 湊微分法

解法2 第二類換元積分法

令 ， 則

當 時，

當 時，

綜上所述，

解法3 根式代換

令 ，則 ，

例3 計算

解法1 萬能代換

令

解法2 拆項積分和湊微分法相結合

注：比較上述兩種解法，利用萬能代換雖然適用于三角函數有理式積分的各種情況，但往往比較麻煩；要使方法簡單，必須掌握較高技巧.一般的，若求 ，可將分子化成

[1]同濟大學數學系.高等數學：上：第七版[M].北京：高等教育出版社，2007：194—208.

[2]華東師范大學數學系編. 數學分析[M]. 高等教育出版社，2001.

[3]陳紀修等編. 數學分析.2版. 高等教育出版社，2004.

作者簡介

賈文燕，碩士，數學與應用數學專業，助教