建構數學模型 提升數學素養

洪云貴+薛佳茵

數學模型是指那些反映特定問題或特定事物的數學符號系統。小學階段數學模型具體表現為一系列概念、算法、數量關系、定律等。數學本質上就是在不斷抽象概括模式化的過程中發展和豐富起來。因此，我們在教學中要注重引導學生建構數學模型，提升數學素養。

一、聯系實際，感知數學模型

數學模型源于生活。培養小學生數學模型思想首先要充分挖掘生活中的數學原型，讓學生初步感知數學模型。教學“分段計費問題”，課前筆者引導學生搜集生活中分段計費的實例。在授課時，筆者先讓學生交流收集到的分段計費的信息。在交流中，學生談到水費、電費、出租車收費、固定電話收費等問題均涉及分段計費。在學生交流信息時，筆者繼續問：“你們能舉例具體說明如何分段計費嗎？”學生便出示了一組數據：階梯電價一檔0～200度，0.4893元/度；二檔201～400度，0.5483元/度；三檔401度以上，0.7983元/度。當學生說出這些信息后，筆者又問：“如果我家六月份用電350度，該付費多少元呢？今天我們就一起來研究分段計費問題。”這樣學生通過多種方法搜集到生活中分段計費信息，初步感知分段計費中“總費用=首段費用+后續費用”的數學模型，為數學模型的建構做好充分準備。

二、自主建構，形成數學模型

自主探索、動手操作、合作交流是數學學習的重要方式，是建構數學模型的重要方法。數學教學中，要讓學生經歷數學模型的建構過程，引導學生經歷觀察、思考、分析、抽象、概括等過程，逐步形成數學模型，從而有效地建構數學模型。

1. 自主探索中建模。

自主探索是學生建模的關鍵。學生只有通過自主探索，才能充分經歷建模過程，牢固掌握數學知識，培養數學能力，提高數學素養。教學“植樹問題”例1：同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？教學中，筆者先引導學生嘗試完成例題，學生的方法大致有3種，方法1：100÷5=20（棵）；方法2：100÷5-1=19（棵）；方法3：100÷5+1=21（棵）。大部分學生是第一種做法。到底哪一種答案正確？接著，筆者引導學生嘗試畫圖分析。學生開始動手畫圖，感覺要畫很多，比較繁瑣。此時筆者又問：“有什么好辦法呢？”引導學生用“以小探大”的方法去探究，也就是從簡單問題中尋找規律，用發現的規律去解決復雜問題。假設路長只有5米，可以怎么栽？棵數和間隔數有什么關系？10米呢？15米呢？從中你發現什么規律？學生在畫圖、觀察、思考、交流中發現在兩端都栽的情況下“棵數=間隔數+1”的數學模型。再利用這個數學模型嘗試解決例題。學生通過嘗試解題、自然生疑、自主解疑、再遇困惑、以小探大、建立模型、應用模型，這樣層層深入地自主探究，逐步建立植樹問題中兩端都栽“棵數=間隔數+1”的數學模型。

2. 動手操作中建模。

數學教學中，要引導學生動手實踐，讓學生在動手操作中建立數學模型。在教學“平行四邊形面積”時，要引導學生動手操作，把平行四邊形剪拼成長方形，觀察拼成的長方形長、寬、面積與原平行四邊形底、高、面積之間的關系，從而發現“平行四邊形的面積=底×高”這個數學模型。通過動手操作，學生深刻地經歷建模過程，有效地培養學生動手操作能力和建立數學模型的能力。

3. 在模擬演示中建模。

在數學學習中，有些題目的數量關系較為抽象，而小學生的思維發展的基本特點是以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式。但是這種抽象邏輯思維很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有相當程度的具體形象性。所以抽象的數學需要進行直觀的模擬演示，才能更加有效地建立起數學模型。教學“相遇問題”時，如何建立“路程=速度和×相遇時間”這個數學模型呢？在讀題之后，先引導學生說出：從題中獲取哪些數學信息？要求什么問題？接著，請兩位學生上臺模擬演示，讓學生在演示中理解兩地、同時、相向、相遇的實際含義，然后深入思考甲速度、乙速度、相遇時間、路程之間的關系，讓學生在模擬、觀察、思考、交流中建立“路程=速度和×相遇時間”或“路程=甲車所行路程+乙車所行路程”這樣的數學模型。

4. 合作交流中建模。

合作交流是數學建模的重要環節，學生通過自主探究、動手操作或模擬演示、觀察思考，逐漸把現實情境中的問題抽象成數學問題，并形成自己獨特的見解，從而初步形成朦朧的數學模型。接著教師要引導學生進行合作交流，學生在交流中，才能取長補短，建立清晰的數學模型。

三、拓展應用，鞏固數學模型

學生通過自主探究、動手實踐、合作交流建立數學模型，教師還要引導學生進一步拓展、豐富數學模型，同時要加強數學模型的應用，進一步鞏固。

1. 加強聯系，拓展數學模型。

每一個數學模型必有許多與之對應的原型。教學中我們從一種原型中探究出數學模型后，應當充分挖掘與之相對應的各種原型，學生才會觸類旁通，靈活運用模型解決問題。就如當學生建立起“植樹問題”中三種情況（兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽）棵數和間隔數之間的數學模型后，我們可以出示鋸木頭問題：把一根粗細均勻的木料鋸成5段，每鋸一次要用3分鐘，一共要用幾分鐘？引導學生找出鋸成的段數和鋸的次數之間的關系，從鋸的段數找到鋸的次數，再用“所鋸次數×每鋸下一段用的時間”得到總時間。這實際上就是植樹問題中兩端都不栽“棵數=間隔數-1”模型拓展成“所鋸次數=段數-1”。教學中只有不斷拓展數學模型，逐步學會將紛繁復雜的現實事物抽象概括為同一數學結構，逐步體驗并掌握數學建模思想，才能有效培養學生的抽象概括能力，建構數學模型的能力，從而提高學生的數學素養。

2. 加強實踐，應用數學模型。

在實踐中應用數學模型，不但能鞏固數學模型，同時還能有效地培養學生的運用意識，提高數學素養。當學生建立起“長方體的表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2”這個數學模型后，要布置學生量一量房間或教室墻面的大小。學生建立起“長方體的體積=長×寬×高”這個數學模型后，要布置學生回家測量冰箱的體積。學生在一次又一次的數學實踐中鞏固數學模型，發展應用意識。

數學教學要引導學生充分感知數學模型，自主建構、積極拓展、靈活運用，從而不斷提高學生的數學素養。

（作者單位：福建省福清市融西小學）