分類 猜想 驗證

翟運勝

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第50至51頁。

【教學目標】

1.使學生經歷若干個非零自然數的和與積的奇偶性規律的探索過程，初步了解它們的和與積的奇偶性基本規律。

2.在自主探索規律的過程中，初步掌握舉例驗證與推理驗證的方法，并能應用這些方法探究新的數學規律，積累探索規律的數學活動經驗，感受數學規律的價值，促進學生抽象與推理能力等的提升。

【教學重難點】

能探索出若干個非零自然數的和與積的奇偶性規律，能夠初步正確判斷幾個非零自然數的和與積的奇偶性。初步掌握分類、猜想與驗證等探索規律的方法，并能應用這些方法探究新的數學規律。

【教學過程】

一、分類思考，建立猜想，舉例驗證

師：自然數按“是否是2的倍數”分為兩類，一類是奇數，一類是偶數。怎樣快速判斷一個數是奇數還是偶數呢？218、213214218、147、847645147是奇數還是偶數呢？

師：看來判斷一個數是奇數還是偶數，只要看它的個位。如果把這兩個數相加，213214218+847645147，怎樣來判斷這兩個數的和的奇偶性呢？你是怎樣想的呢？（板書課題：和的奇偶性）

學生得出用這兩個數的個位相加就可判斷這兩個數的和是奇數。

設計意圖：通過復習使學生把判斷一個數奇偶性的注意力聚集到這個數的個位上，直接引導學生判斷兩個數的和是奇數還是偶數，學生自然會想到只要把它們的個位進行相加，為后面的舉例驗證做好鋪墊。

師：任意兩個自然數的和一定是奇數嗎？問題很復雜，為了便于研究，我們需要先分一分類，任意兩個自然數相加可以分為哪些情況呢？

預設：偶數+偶數，奇數+奇數，偶數+奇數。

師：它們的和是什么數呢？讓我們先來猜一猜。

預設：偶數+偶數=偶數；奇數+奇數=奇數；偶數+奇數=奇數。

師：到底這三個猜想對不對呢？你打算怎樣去驗證這三個猜想呢？

預設通過舉例來驗證。

設計意圖：引導學生先分類再猜想，使學生學會從整體思考問題，這是一種面對復雜問題時重要的研究方法，能夠避免面對復雜問題時思維陷入混亂，培養學生有序思考的意識。

引導得出：因為判斷一個數是奇數還是偶數只要看這個數的個位，所以只要舉一位數加一位數的例子就可以了。用個位是0、2、4、6、8的數來代表所有的偶數，用個位是1、3、5、7、9的數字來代表所有的奇數。

教師組織學生填寫下面的三個表格。

引導學生觀察表格發現：偶數+偶數=偶數，奇數+奇數=偶數，偶數+奇數=奇數。（表1～3）

設計意圖：學生認識到只要舉一位數加一位數的例子就可以概括出兩個自然數和的奇偶情況。借助這三張表格使學生做到了窮舉所有兩個自然數相加的例子，實現了完全歸納推理，使規律成為必然。

引導學生提問：為什么會有這樣的規律呢？

結合學生的回答出示下圖1：

引導學生用字母來表示：第一個奇數可以用2m+1表示，第二個奇數可以用2n+1來表示，（2m+1）+（2n+1）=2m+2n+2=2（m+n+1）。

小結：回顧一下剛才兩個數和的奇偶性的探索過程，我們是怎樣探索的呢？

預設：把這個問題先分類，再猜想，然后舉例驗證。

設計意圖：通過舉例歸納出和的奇偶性規律，不代表學生真正理解了這三個規律，激發學生思考為什么會有這樣的規律，喚起學生的問題意識，引導學生采用數形結合與符號表示的方法，深刻理解規律背后的原因。

二、練習引入多個數相加，組織推理驗證

練習一：你能不計算，判斷下列算式的和是奇數還是偶數嗎？

246+118 1023+2048 1357+731

28+42+806+3120+…+2016+…

教師組織學生判斷和的奇偶性，引導：其實這些偶數還可以寫成文字，變成下面的形式——偶數+偶數+…+偶數=偶數，不論多少個偶數相加都是偶數，這說明了什么呢？

預設：相加的和是偶數，與偶數的個數沒有關系。

師：奇數+奇數+奇數+…+奇數，若干個奇數相加的和是什么數？

學生小組討論，然后把結論寫在研究單上。

組織學生匯報：若干個奇數相加時，如果奇數的個數是偶數，和是偶數。如果奇數的個數是奇數，和就是奇數。

教師引導學生結合課件匯報得出結論。

師：誰能利用得出的結論來說明兩個自然數相加的情況呢？

教師引導學生得出這種驗證的方式叫作推理驗證。

設計意圖：由兩個偶數引出多個偶數相加，并抽象為文字，使學生認識到多個偶數相加和是偶數，與偶數的個數無關。在充分討論的基礎上，借助課件，學生使用抽象的文字進行推理驗證，得出若干個奇數相加的和與奇數的個數有關的規律。再引導學生用得出的規律說明兩個數相加的情況，從而溝通規律之間（偶數相加，奇數相加）的聯系，將其升華為更加普遍的規律，并讓學生認識到驗證的方法不再是舉例，而是推理。

練習二：判斷下面算式的和是奇數，還是偶數？

（1）17+35+23+41，

（2）311+225+473+609+907，

（3）1+3+5+7+…+29，

（4）2+4+6+8+…+30。

通過練習讓學生認識到多個偶數與多個奇數相加，只要關注奇數的個數就可以了，與偶數的個數無關。

設計意圖：及時進行練習，鞏固多個奇數相加和的奇偶性規律，從容引出多個偶數與多個奇數相加，在思辨中認識到多個自然數相加的和的奇偶性只與奇數的個數有關。

練習三：“最強大腦”。

層次一：課件依次出示：28、31、60、72、14、199。

層次二：課件依次出示：33、155、70、54、221、99、22、43、68、52。

請你判斷這些數和的奇偶性。

總結：我們今天探索了和的奇偶性（出示課題），我們是怎樣進行探索的呢？

預設：我們先把問題進行分類，然后提出猜想，再舉例或是推理進行驗證。

設計意圖：應用規律玩“最強大腦”游戲，用知識內在的魅力吸引學生，讓他們體驗玩數學游戲并挑戰成功的愉悅感，提高學習興趣，培養學習數學的自信心。

三、遷移探究方法，嘗試探究積的奇偶性

師：你還可以提出怎樣的探索性問題呢？

預設：差的奇偶性、積的奇偶性、商的奇偶性。

師：請同學們使用今天的探索方式，先分類、提出猜想，再舉例或者是推理驗證，找一找積的奇偶性有什么規律。

學生匯報自己的發現。

預設：偶數×偶數=偶數，偶數×偶數×偶數×…×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數，奇數×奇數×奇數×奇數×…×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數×奇數×奇數×…×奇數×偶數=偶數。

師：多個奇數相乘為什么等于奇數呢？

師：1×3×5×7×9×…×997×999，這個式子的結果是奇數，還是偶數呢？如果再乘4呢？

布置作業：請同學們利用今天學習的方法去研究差的奇偶性與商的奇偶性，寫成一篇數學小論文。

設計意圖：在總結出探究方法后，學生應用這些探究方法成功得出積的奇偶性規律，遷移了研究方法，增強了探究的興趣，樹立了從事探究活動的信心，促進了數學思維與能力的提升。本節課是教學“如何探索規律”，教學重點不是掌握和與積的奇偶性規律，而是習得探究這些規律時所用的探索方法，樹立探究意識，以及積累數學活動經驗。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區方洲小學 責任編輯：王彬）