基于生活經驗改造的數學學習

范林偉

平均數作為一種最常用的統計量，它能代表一組數據的集中程度和整體水平。教學中，我們十分重視平均數怎么得到的、有什么用，卻很少重視平均數是什么，對其虛擬性體驗也不夠充分。本文，筆者以俞正強老師執教“平均數”一課為例，談一談如何在學生生活經驗的基礎上進行改造、提煉、建立數學概念。

【教學片段1】在生活原型中生長出概念

材料1：二年級小朋友60米跑了五次，時間分別如下（秒）：15，14，12，10，14。60米我通常要跑？搖？搖？搖 ？搖秒。

師：這5次的時間不一樣，說明跑得有快有慢，時間多說明跑得慢，時間少說明跑得快，時間越少就越快。

師：第二天，他回到學校，要填這張表格“60米我通常要跑？搖 ？搖？搖？搖秒”。當時，我正好站在他邊上，我發現——這位小朋友填了15，卻又把15涂掉了，你們知道為什么嗎？

師：如果是我，我也會涂掉，因為這是所有時間里最慢的。（板書：最慢）他把最慢的填在上面，他甘心嗎？（板書：不甘心）

師：后來，這位小朋友填了10，一會兒又涂掉了，你們知道他為什么又要涂掉嗎？如果是你，你會涂掉嗎？為什么？

師：10秒是他的最快成績，他能不能每次都跑10秒啊？（板書：最快）

師：同學們，他最后填了一個數，你們覺得這位小朋友最后填了幾？

師：他一定會填14，理由是什么？

生 ：他兩次跑了14秒。

師：在所有的5次中，14秒出現的次數最多。（板書：最多）所以，他填14，對嗎？

生 ：我覺得是13，因為他們的平均數是13。（板書：平均數）

師：還有別的答案嗎？

生 ：12，因為這樣保守一點。

生 ：13沒出現過，12有道理。（板書：沒出現）

師：12和14比，14秒偏慢，12秒偏快。（板書：偏慢？搖偏快）

師：現在有3個答案出來了，你們覺得哪個答案的可能性比較大？

生 ：12、13的可能性都比較大。

師：14最多，但偏——慢，12又偏——快，那么，有沒有不偏慢也不偏快的呢？

師：13既不偏慢，也不偏快，那么，他能不能填13呢？為什么呢？

生6：因為它是平均數。

師：什么是平均數，誰告訴你的？

師：怎么算出來的？

生7：把5個數相加，再除以5，就是平均數。（板書算式）

師：13，這位小朋友根本沒有跑出來過，你敢填嗎？理由呢？

生8：雖然今天沒跑過，但是如果下一次真的跑出來了呢？

師：他說現在是沒跑出來，但是下一次呢，下一次有可能跑出13嗎？（有）

師：雖然這5次沒有，但第6次呢？（有）可能性大不大？（大）為什么？

生9：因為它正好不快也不慢。

師：13雖然現在沒有出現過，但是下一次有可能跑出來。用這一個成績來代表他的速度正好，這是最能代表他的成績的。

師：小朋友們看過來，剛才這位小朋友說的可以算的，那這個算式算出來是不是13呢？自己算算看。

師：結果是13，說明13跟這組數有關系，原來13就偷偷地躺在這些數后面。

【賞析】影響學生學習的最重要的因素是學生已經知道了什么。平均數是學生第一次接觸虛擬數的學習。于是，俞老師創設了一個用數來表示跑步水平的情境，成功激活學生的生活經驗，引發學生的思考，促使他們借助跑步的經歷，將“最快、最慢、偏快、偏慢和不快不慢”這些與平均數學習有關的知識儲備提取出來，作為新概念學習的依托。課堂上，全體學生興致勃勃地對數據進行猜測、質疑和辨析，在否定之否定的數據分析過程中經歷平均數的產生過程，逐步將自己的生活經驗改造為數學知識。最后，俞老師通過巧妙的點撥，揭示平均數13與這組數據的內在關系，得出平均數的計算方法。此外，我們還發現，俞老師非常善于利用學生的非智力因素（興趣、情感、態度等），成功地讓學生移情入境，讓他們在“不甘心”“不好意思”中深化對新知的認可與理解。

【教學片段2】在數學模型中發展概念

材料2：活動棋子圖。

師：想想，你可以從這里變出一個13嗎？

學生操作（圖2）。

教師板書：平。

師：平均數是平分（指圖）、均分（指算式）來的。現在，你們知道平均數是什么意思了嗎？

生1：平均數就是把5個不同的數變成一個相同的數。

材料3：15，10，14，12，14。

師：同學們，這幾個數都很特別，你認為哪個數最特別？（13）

師：它有幾個特點？

生2：兩個，“不快不慢”和“沒出現”。

師：符合這兩個特點的數，我們稱它為——平均數。因為這個數“正好”，所以可以代表這位二年級小朋友的跑步水平。雖然這個數沒有跑出來過，我們可以“移多補少”得到。（板書：移多補少）

師：所以，他寫多少是最合理的？（13）

師：這個故事講完了，你們知道我為什么要給你們講這個故事嗎？

生3：今天要學習這個知識。

師：那你們學懂了嗎？

生4：我有個問題，平均數也不一定是非要不出現吧？

師：那么，平均數可以出現嗎？（可以）

師：比如說，第六次出現13。

【賞析】有研究表明，對于低年級學生來說，他們往往還不能通過嚴密的邏輯思維活動來直接形成數學概念，主要還是通過“行為性概念”來獲得一些概念。這句“平均數是平分、均分來的”既展現了平均數“移多補少”的本質，又概括了平均數的計算方法，十分符合小學生的認知規律。這樣，直接就把抽象的平均數概念直觀、具體、形象地描繪出來。而且，通過對這5個數據的對比、分類，進一步放大了學生的生活經驗，強烈地使學生體會平均數在生活中的“特別狀態”，即不快不慢的正常水平；還使學生體會到平均數在數學中的特殊狀態，即虛擬性。此外，筆者還體會到，這個故事不單是講給學生聽的，更多的是講給教師們聽的——平均數的概念本來就隱藏在生活之中，平均數的算法是伴隨著概念的形成而產生的，總數除以份數只是一種計算的竅門而已。

【教學片段3】在實際應用中深化概念

材料4：6和4；1，3和5。

師：這兩個數的平均數是幾？

生1：6加4，再除以2等于5。

師：這三個數的平均數是幾？

生2：1加3加5，再除以3，等于3。

生3：1加2等于3，5減2等于3，平均數就是3。

師：有一條河，平均水深4米。最深幾米，你知道嗎？

生4：不知道，可能是6米，也可能是2米、1米。

師：如果平均水深1米，小朋友走過去安全嗎？

生5：不安全，可能有的地方不止1米。

師：今天我們學了什么？（平均數）

師：平均數有什么用？

生6：它解決了代表一位小朋友跑步水平的問題。

師：平均數有什么特點？

生7：不快不慢，正正好，可能沒出現。

師：我們這個數（指13）這么特別叫什么數——平均數，那這個數呢？（指15）這個數呢？（指10）這個數呢？（指14）我們以后慢慢去學。

【賞析】概念教學很怕忽視概念間的聯系的教學，或者忽視靈活應用概念解決問題的教學，以致學生將一個個概念分散而孤立地保留在頭腦當中。課尾，俞老師先通過兩組數據強化了學生對平均數的計算方法和數學本質的理解。然后，讓學生在解決“過河問題”的討論中進一步體會平均數的統計意義和特征（容易受極大數和極小數的影響），所以無法判斷能否安全過河，從而使學生充分感受學習平均數的必要性和實際應用價值。最后，俞老師連續的補問，將學生引向新的思考，意在幫助學生初步感受各個統計量之間的聯系，以助于形成良好的概念系統。

（作者單位：浙江師范大學附屬嘉善實驗學校 責任編輯：王彬）