山重水復(fù)疑無(wú)路 柳暗花明又一村
——“等角對(duì)等邊”的又一證法

廣東省鶴山市桃源中學(xué)(529725)

鄧小軍●

?

山重水復(fù)疑無(wú)路 柳暗花明又一村
——“等角對(duì)等邊”的又一證法

廣東省鶴山市桃源中學(xué)(529725)

鄧小軍●

等角對(duì)等邊的一般證明方法是作頂角的角平分線或底邊上的高，通過(guò)證明三角形全等而得出結(jié)論.由于等腰三角形有三線合一的性質(zhì)，作底邊上的中線卻不能通過(guò)證明三角形全等而得出結(jié)論，但是可以運(yùn)用余弦定理、巧用放縮法來(lái)證明.

等角對(duì)等邊；余弦定理；放縮法

一、題目呈現(xiàn)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)有這么一道題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).

已知：如圖，△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.

二、誤入歧途

“等角對(duì)等邊”是“等邊對(duì)等角”的逆定理.聯(lián)想證明“等邊對(duì)等角”時(shí)，通過(guò)作∠BAC的平分線AD；或作BC邊上的高AD；或作BC邊上的中線AD均可證三角形ABD和三角形ACD全等，從而推出結(jié)論.所以，感覺(jué)證明逆定理時(shí)反其道而行之，應(yīng)該可以證明.

作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD通過(guò)證明三角形全等，從而推出AB=AC.這兩種方法是可行的證法，但作BC邊上的中線AD則不能證明三角形全等.此時(shí)雖然有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，但是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，此路不通.

參考盧正才老師的幾種證法，也沒(méi)有作BC邊上的中線AD的證法.總感到有些美中不足.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一和諧美怎么體現(xiàn)？既然等腰三角形有三線合一的性質(zhì)，作∠BAC的平分線AD或作BC邊上的高AD均可證三角形全等，從而推出結(jié)論，那么作BC邊上的中線AD又為什么不能證明三角形全等呢？一定有辦法的.

三、另辟蹊徑

既然作BC邊上的中線AD證三角形全等的方法行不通，是不是有其它的方法呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，作BC邊上的中線AD時(shí)，可運(yùn)用余弦定理、巧用放縮法來(lái)證明.證法如下：

在△ABD中，AD2=BD2+AB2-2AB·BDcosB，

在△ACD中，AD2=CD2+AC2-2AC·CDcosC，

所以BD2+AB2-2AB·BDcosB=CD2+AC2-2AC·CDcosC.因?yàn)锳D為中線,所以BD=CD,BC=2BD.

又因?yàn)椤螧=∠C,

所以AB2-2AB·BDcosB=AC2-2AC·BDcosB,

AB2-2AB·BDcosB-AC2+2AC·BDcosB=0,

(AB-AC)(AB+AC)-2BDcosB(AB-AC)=0,

(AB-AC)(AB+AC-2BDcosB)=0.

而AB+AC-2BDcosB=AB+AC-BCcosB,

由于在△ABC中恒有AB+AC>BC,

又因?yàn)椤螧=∠C,所以0°<∠B< 90°,所以0

從而AB+AC>BCcosB，即AB+AC-BCcosB>0,

所以AB+AC-2BDcosB>0,

所以AB-AC=0,即AB=AC,證畢.

完美！ 此時(shí)，深深體會(huì)到數(shù)學(xué)的美——統(tǒng)一和諧美.

[1]義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)(八年級(jí)上冊(cè))[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]盧正才. “等角對(duì)等邊”的幾種證法[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào),1997(1):94.

G632

B

1008-0333(2017)11-0059-01