培養合作探究意識，發展應用知識能力

作者簡介：余樹寶，男，1969年5月出生，漢，安徽霍邱人，中學高級教師，安徽省中學數學特級教師，安徽省教壇新星，安徽省中學數學優質課一等獎獲得者，現任教于合肥工業大學附屬中學.

[摘 要] 課堂教學最重要的任務是培養好學生的數學能力，尤其是發展學生運用數學知識分析問題、解決問題的能力. 教師在教學時，一定要發揮學生的主體作用，讓學生充分地思考，探索解決問題的途徑，歸納、總結問題解決的策略，獲取解題經驗.

[關鍵詞] 課堂教學；提出問題；分析問題；總結問題；培養能力

課程是學校的，課堂是老師的. 作為承擔數學教育的老師們，一定是在持續思考數學課堂教學的技術與藝術，在培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等核心素養上孜孜追求著卓越.

其中，作為教學主渠道的課堂，很重要的任務是在教會學生掌握數學基礎知識、基本技能、基本思想的同時，培養好學生的數學能力，尤其是發展學生的運用數學知識分析問題、解決問題的能力.

著名的數學家波利亞也說過“問題是數學的心臟”，“掌握數學意味著什么？那就是善于解題.”他主張數學教育的主要目的之一是發展學生解決問題的能力，教會學生學會思考. 所以我們反對師生搞題海戰術，但離開解題的數學教學也一定是有偏頗的，沒有解題的教學是沒有實際意義的教學，就一定脫離了數學教學的本質，也就不利于學生認識數學的價值，不利于學生的可持續發展.

下面，就筆者近日在結束高一必修五第一章《解三角形》教學內容后，進行專題復習課《三角形問題的解決》的教學過程中的做法，談一談筆者的一點思考.

本堂課開始，筆者對與三角形有關的問題進行了梳理、歸納，筆者認為問題大致可分為四種類型：一是三角形形狀的判斷問題，二是三角形中的求值問題，三是三角形中三角等式的證明問題，四是三角形中的最值問題. 針對這些類型的問題，筆者分別從近年來高考試題和模擬題中選編了幾個典型例題，通過每一個例子讓學生認識各類三角形問題的設問方式與解決方法.

如解決三角形形狀的判斷問題時，筆者選用了一道簡單的問題：

例1：在△ABC中，若==，則△ABC的形狀是（ ）

A. 直角三角形

B. 鈍角三角形

C. 等腰三角形但非等邊三角形

D. 等邊三角形

筆者選題的意圖是想讓學生既能通過“邊”的角度，也能通過“角”的角度來判斷此三角形的形狀；既能利用正弦定理化邊為角，也能利用余弦定理化角為邊來解決此問題.

問題給出后，怎樣引導學生思考并得出解決問題的辦法是教學的關鍵，也是培養學生解題能力的重要環節. 在此過程中教師一定要發揮學生的主體作用，讓學生充分地思考，分析問題的已知與未知，探索解決問題的途徑.教師千萬不能一言堂，代替學生完成解答過程就了事.高中新課程最重要的理念就是倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，鼓勵學生參與課堂教學的全過程，讓學生學會觀察、感受、探究、實踐、交流，自主發現數學規律和解決問題的途徑.

波利亞也曾說過“老師為學生所能做得最大的好事是通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭”，這里說的“好念頭”，其實就是開展學生積極活躍的思維活動.

筆者先給全體學生一定的思考時間，然后找一位學生陳述自己的想法. 這位學生給出問題的解決辦法是利用余弦定理將=中的cosA，cosB分別換成，，運算化簡此式可得a=b；同理由=可得b=c，從而判斷此三角形為等邊三角形.

接下來筆者并沒有結束本題的解決過程，又問大家：想一想，有沒有其他的方法來解決此問題呢？一位學生提出了自己的想法：利用正弦定理將=中的a，b分別換成sinA，sinB，結果得到tanA=tanB，由于角A，B都是三角形的內角，所以A=B. 筆者又補充了通過逆用兩角差的正弦公式，由=變形可得sin（A-B）=0，又-π

還有沒有其他的方法呢？一位學生這樣回答：這是一道選擇題，我用“排除法”能輕松化解. 他說，此三角形不可能是直角三角形，若某個角是直角，如A=90°，則cosA=0，條件不成立；若是鈍角三角形，如A>90°，則cosA<0，條件也不成立，故先排除A、B. 對于C、D兩個選項，他認為三條邊、三個角出現的概率相等、位置均衡，估計應該選D. 該生的想法，得到了其他學生的認可和掌聲.

借此機會，筆者趁勢對選擇題的解法作了一個總結：解選擇題常用的方法，主要分直接法和間接法兩大類. 直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法，但考試中，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目求解困難或根本無法解答. 因此，我們還須掌握一些特殊的解法，如直接法、篩選法、特值法、驗證法、數形結合法等. 基本策略是：①熟練掌握各種基本題型的一般解法，也就是通性通法；②結合單項選擇題對解題過程書寫不作要求的特點，靈活運用選擇題的解法與技巧；③挖掘題目“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速做出正確的選擇. 宗旨是：不擇手段，多快好省，小題小做，小題巧做，切忌小題大做.

如果再給學生一些時間，學生一定還會有更多更好的想法，讓全體學生參與其中，共享解決問題的思維與策略，共享問題解決后成功的快樂，意義非凡.

例1分析討論最后，師生共同總結：判斷三角形形狀問題，一般情況下應從兩方面入手，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把邊角混合關系式化為三邊關系式，或化為三角關系式，兩者選擇其一即可達到判斷三角形形狀之目的.

其實，不僅是三角形形狀的判定問題，只要涉及邊角混合關系式，這種方法都是有效的. 隨即筆者又舉了一個求值的問題——2016年高考全國Ⅰ卷第17題第（1）問：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C.

學生知道了邊角混合關系式可采用化邊為角或化角為邊的方法，很快完成了此題解答. 并且通過比較，他們發現，兩種方法中“化邊為角”法解答過程簡潔，速度更快：

2cosC（sinΑcosΒ+sinΒcosΑ）=sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC，故2sinCcosC=sinC，可得cosC=，所以C=.

這也說明了凡事適合才是最好的，靈活選擇也是一種能力. 另外，高一的學生，能迅速完成高考解答題，他們在收獲了解題成功快樂的同時，也收獲了對未來高考的自信.

在解決三角形的求值問題時，筆者針對“給值求值”問題選擇了兩個例題：

例2：在△ABC中，cosA=，cosB=，則cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

例3：在△ABC中，cosA=，sinB=，則cosC的值是（ ）

A. B. -

C. - D. 或-

選題意圖是讓學生乍一看來，這兩個例子好像有點雷同，實際上在解決問題的過程中會出現意想不到的差異.

例2主要考查兩角和的余弦公式的應用. 解題過程中一要注意所求的角與所給角的關系（內角和定理），二要注意由cosA，cosB分別求sinA，sinB時的正負選擇. 由于三角形內角的正弦值恒正，所以由cosA，cosB分別求sinA，sinB，結果是唯一的，于是cosC的值也是唯一的，選C.

但例3中由sinB求cosB會出現兩個結果，學生若不注意取舍，很大可能會選擇D.因此筆者想通過這個問題，讓學生明白一點：解題過程中要注意由sinA=>sinB=及正弦定理=得到a>b，由“大邊對大角”得A>B，因此B不可能為鈍角，故cosB=-舍去，所以只能選C. 所以教學中選擇好例題，有意識地達到你所需要學生達到的教學目標也是非常重要的.

此題解決時，筆者先通過提問讓學生得到例2的解答過程，隨即筆者利用多媒體展示了與例2類似的例3的解答過程：

解：因為cosA=，所以sinA=，由sinB=得cosB=±.

當cosB=時，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-；

當cosB=-時，cosC=-cosAcosB+sinAsinB=.

故選D.

然后，筆者讓學生去評判這種做法正確與否. 多數學生對這種做法給出了肯定，但也有個別學生提出質疑. 于是學生在疑惑中思考，在思考中討論. 筆者提醒學生注意：角B是鈍角還是銳角？筆者讓學生從另外一個角度進行取舍，算一下sinC是多少. 結果學生發現，當cosB= -時，sinC=-，這個結果是所有學生都不接受的一個結果，因為大家都知道“三角形任何一個內角的正弦值恒大于0”.問題出在什么地方？筆者再問式子“a>b?A>B?sinA>sinB”成立與否. 學生討論后回答，這個式子在三角形中是成立的. 于是追問由此來判斷角B是鈍角還是銳角是否可以. 學生此時恍然大悟，因為sinA=>sinB=，所以角B是銳角. 借此深刻地領會了三角形中三角函數問題的解決要綜合地利用三角函數知識與三角形的相關知識才能得到正確的解決.

當然提出問題不僅是教師的事情，也是學生的事情. 當教師的，一定要培養學生學會自己發現問題、提出問題的能力，只有這樣學生才具有參與教學的積極性，才能更深刻地理解數學知識的本質. 如在解決以上兩個例題后，筆者讓學生自己再編一個相似但不能相同的問題出來，其中一個學生這樣編寫：設△ABC中，sinA=，sinB=，求cosC的值. 學生共同完成后，發現這個問題的結果就有兩種可能，與前兩題相似但不同，很有價值.

到了此題總結時，筆者引導學生歸納：求值問題是三角形的主要問題，解題時，除了要用到三角函數的有關知識，如三角函數的圖像和性質、同角三角函數的關系式、誘導公式、兩角和與差、倍角等三角公式，還要運用三角形的有關知識. 如（1）邊邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（2）角角關系：三角形的內角和定理A+B+C=π；（3）邊角關系：大邊對大角、大角對大邊、正弦定理、余弦定理、面積公式等. 只有幾方面知識結合起來，才能順利地解決三角形中三角函數問題.

在與學生共同總結解題過程時，還發現在解決三角形中的有關問題時，一定要注意角的“有界性”. 關于角的式子，如0

波利亞在他的《怎樣解題》一書中特別闡述了解題過程的一個重要環節——回顧，他指出其作用：不僅能改進、完善眼前的解題，而且能提煉出對未來解題有指導作用的信息（即形成數學觀念的基本素材，或稱解題經驗的信息儲備），進一步升華為人們搜索、捕獲、分析、加工和運用信息能力的總和——數學才能.

我們給出問題，然后去解決問題的根本是讓學生得到一類問題解決的思想與方法，要總結出一類問題解決所用到的數學知識、思維的途徑和采取的措施，獲取解題經驗. “一題多解”對鍛煉學生的思維非常重要，但在教學的過程中，善于總結，尋求“多題一解”，也是非常重要的. 題海戰術，無非是不去總結，重復做題，既浪費了時間和精力，也不能應對問題的變化. 當然在總結問題解決的過程中，還是要充分地發揮學生的主體作用，讓學生去收集、整理、歸納、總結，只有這樣學生得到的才是深刻的.

一堂課，教會了學生什么，培養了學生什么，當老師的自然要有思考. 高中數學教學的過程，要更加突出數學知識的應用，只有在運用數學知識解決問題的過程中才能不斷地提高學生直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等數學思維能力，才能形成和發展學生數學應用的意識，提高學生的數學核心素養.