思維在探究中呈現素養在活動中發展

徐國鋒

[摘 要] 在核心素養立意的課程體系即將實行的過程中，高考內容的改革也正在向著基礎性與綜合性的方向加快改革. 浙江省作為深化課程改革的實驗區，這方面已經走在了全國的前列，在學考、高考中充分展示了通過考查學生分析、解決問題的能力從而體現學生核心素養的試題. 同時高三數學復習又離不開數學解題教學，由此筆者在發展學生核心素養的立意下設計了一堂雙參數二次型函數的最值復習課. 通過學生親身經歷學習過程，設置問題引領學生探究習得，師生交流展示思維等學習方式提升學生的理性思維品質，以期在這樣的高三復習解題教學模式下發展學生的核心素養.

[關鍵詞] 核心素養；課堂實錄；復習教學

隨著教育部《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》的發布，“核心素養”一詞迅速成為中國教育界的“熱門詞匯”，即將啟動的新課程也從“以能力立意的課程體系”轉向“以素養立意的課程體系”. 作為一線教師，面對這樣的深化課程改革，是否真的要另起爐灶才能落實發展學生的核心素養？正如王尚志教授所說：數學核心素養不是獨立于知識、技能、思想、經驗之外的“神秘”概念，它綜合體現出對數學知識的理解、對數學技能方法的掌握、對數學思想的感悟及對數學活動經驗的積累，數學核心素養不能離開數學的學習、應用、創新，綜合體現在“用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界”的過程中，綜合體現在“發現與提出問題、分析與解決問題”的過程中.[1]

由此可見，數學核心素養的培養其實質就是讓學生經歷基本的數學活動積累經驗（數學建模），培養學生的理性思維（內在品質），并通過關鍵能力（數學抽象能力、邏輯推理能力、數學運算能力、直觀想象能力、數據分析能力）進行外在表現.這是對傳統的數學思想、方法的教學的繼承和發展. 作為一線教師，課堂教學是與學生交流學習的主要陣地.我們只有在自己日常的教學中深入思考如何落實新理念的方法，在知識與方法的教學過程中尋找培養學生數學核心素養的有效途徑，應該成為我們日常教學思考的出發點和歸宿.

[?] 分析立意，準確定位教學

浙江省學考、高考試題中有很多二次型函數的綜合試題，對學生來說難度較大. 主要是學生在解決這些數學問題時，不能理解題目的實質，生搬硬套地用純代數二次函數含參討論的方法進行解決，導致思維受阻，過程煩瑣，消磨學生的學習興趣.

學生產生上述現象主要是在學習中通過機械的記憶、模仿、練習來完成學習過程，表面上看是解題能力得到了提升，但在以素養立意的學高考中，面對新的情境學生缺乏分析問題、解決問題的思維能力. 基于這樣的思考，筆者試從發展數學核心素養的角度設計復習課，通過課堂活動、主動探究、構建模型、合作交流等豐富學生的學習方式，引導學生以新的數學視角審視這些試題，揭示問題的本質，使學生在過程中感悟數學思想方法在問題解決中的應用，增強學生主動習得內化知識的能力，從而提升學生的數學思維，發展學生的核心素養.

[?] 扎實過程，活動中培養素養

1. 解法分析，追求靈活

例1（2014年1月浙江學考數學第34題）：設函數f（x）=x2-ax+b（a，b∈R）.

（1）略；

（2）若存在實數a，使得當x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此時a的值.

分析：本題從函數形式看是一個基本的含參二次函數，學生感覺比較熟悉和親切，但深入發現是雙量詞多變量問題，學生的難點有兩個：①對于“存在”與“恒成立”這兩個量詞如何轉化；②轉化后最值如何求解.

筆者在課前將本題作為作業布置給學生，讓學生課前思考解答，從上交情況來看，學生的解答主要有這樣兩種：

解法1：存在實數a，使得當x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立，即f（x）min≥2，

f（x）max≤6對x∈[0，b]成立，對稱軸x=.

①當<0，即a<0時，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

②當>b，即a>2b時，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2.

③當0≤≤b，即0≤a≤2b時，

f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

，得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2.

點評：用這種解法的學生較多，也可以看出學生對“當x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立”轉化為求二次函數的最值是清楚的，同時對對稱軸不定的二次函數在定區間上的最值求法是明確的. 關鍵是對存在實數a的轉化有一定的困難. 這里就需要教師在課堂教學時對變量a的處理要到位.

筆者通過投影，展示這類學生的解答.

師：這類解答有一個共同的特點，就是對x∈[0，b]的恒成立問題進行了成功的轉化，而且討論步驟清楚，書寫規范，非常好！那不能進一步解決問題的障礙在哪里呢？

生：我對存在實數a在這里不能像上面恒成立那樣進行轉化.

師：那我們一起來看第一種情況：當<0，即a<0時，f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6.

我想你對a<0及b≥2如此簡潔的條件肯定不會再想轉化了，那么對f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6可以從哪些角度來理解呢？

生：不等式！

師：很好，如果從不等式的角度審視，那么是以a還是以b作為主元呢？

生：當然以a作為主元啊，一次不等式解起來肯定比二次不等式方便啊！

師：這樣的選擇思維含量很高啊！那我們再來看a≥b-+1，如何知道這樣的a是否存在？

生：一次不等式肯定有解的啊……

生：還有前提條件a<0，也就是不等式組b≥2，

a<0，

a≥

b-+1有解.

師：很好，也就是在兩邊“夾擊”的情況下必須讓a留有生存的空間啊！

由于y=b-+1在b≥2上單調遞增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合.

然后請學生把本題解答完畢，筆者巡視，個別指導.

課堂教學是慢的藝術，教師必須舍得花時間讓學生在做中悟，這樣才能真正提高學生外顯的能力和內涵的素養！

筆者巡視展示優秀的解答，同時給出答案：

①當<0，即a<0時，

f（x）min=f（0）=b≥2，

f（x）max=f（b）=b2-ab+b≤6，

即b≥2，

a<0，

a≥

b-+1.

由于y=b-+1在b≥2上單調遞增，所以ymin=2-+1=0，即a≥0，不符合；

②當>b，即a>2b時，

f（x）max=f（0）=b≤6，

f（x）min=f（b）=b2-ab+b≥2，

即b≤6，

a>2b，

a

③當0≤≤b，即0≤a≤2b時，f（x）max=max{f（0），f（b）}，f（x）min=f

.

即可得f（0）=b≤6，

f（b）=b2-ab+b≤6，

f

=-

+b≥2，即b≤6，

a≥

b-+1，

0≤a≤

2，得b≤6，

b-+1≤a≤

2成立，所以b-+1≤2.

經過這樣的轉化，變成了求關于b的不等式

b-+12≤4（b-2），即b2++1-12+2b-≤4b-8，即b2+-2b--3≤0，即

b+2-2

b+

-15≤0.

由f

=-+b≥2得b≥2，于是2≤b+≤5，即b2-5b+6≤0，所以2≤b≤3. 當b=3時，b-+1≤a≤2，即a=2. 所以b的最大值為3，此時a=2.

對③的計算過程可找解答得較好的學生進行投影展示，教師對去根式的方法，換元成二次不等式進行求解的思路要分析到位，要鼓勵學生敢于運算，這是培養學生數學運算素養的一個很好的契機.

師：上面我們從解不等式的角度轉化了存在實數a的問題，使題目得以解決. 還有其他解法嗎？

生：解法1其實是在恒成立轉化的條件下，再解關于a的不等式，從函數形式來看，有點像參變量分離法，那么我們是不是可以先把a分離出來，再處理恒成立問題呢？

生：我昨天就是這樣做的，但是沒有完全解決這個問題.

師：那我們一起來看看問題出在哪里.（投影該同學的做法）

解法2：由x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立，得2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立，即

x+max≤a≤

x+min.

師：我們一起來看，他前面轉化的過程有什么需要完善的地方嗎？

生：由于x∈[0，b]，因此當x=0時，不能直接分離，而且當x=0時，我們可以得到2≤b≤6的范圍.

生：我昨天就是得不到這個范圍，導致后面函數的單調性討論得太復雜，有了這個條件，問題馬上就能解決了.

師：現在你能把解題過程再完善一下嗎？

學生在屏幕上直接展示：

存在實數a，使得當x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立，

①當x=0時，f（0）=b，所以2≤b≤6.

②當x∈（0，b]時，2≤x2-ax+b≤6，即x+≤a≤x+恒成立.

由①中2≤b≤6，所以y=x+在x∈（0，b]上遞增，ymax=b-+1. 當b=2時，y=x∈（0，b]；當b∈（2，6]時，y=x+且∈（0，b]，ymin=2. 綜上，b-+1≤a≤2，后面同解法1，此處不再贅述.

點評：讓學生經歷分析問題、解決問題的過程，產生思維的碰撞，比直接聽取答案講解要高效的多. 同時，經過同學之間的相互交流、合作學習，相互之間取長補短，不斷完善自己的思維品質，提升自己的能力和素養.

2. 動靜分離，揭示本質

師：參變量分離法的實質是一種“動”與“靜”的分離，比如x2-ax+3≥2對x∈[1，2]恒成立，經過參變量分離可得a≤x+對x∈[1，2]恒成立.

這里y=x+，x∈[1，2]是一個“靜”態的函數，y=a是一條平行于x軸的“動”態的直線，只是這條直線過于特殊. （教師幾何畫板演示，讓學生體會這種“動”與“靜”的分離與結合）

像本題一樣，題目中有兩個參數時，是否也一定要分離成y=a這條特殊的直線呢？正是因為這樣的分離x+≤a≤x+，導致了三個函數圖像都是“動”態的，不能從圖像上直觀地看出結果，給解題造成了麻煩.

師：我們觀察2≤x2-ax+b≤6，從“動”“靜”分離的角度，你有什么想法嗎？

生：（觀察思考，恍然大悟）是不是也能看成二次函數與一次函數的結合？

師：請你跟大家分享一下你的想法！

生：由于這里有兩個參數a，b，那是不是可以把這兩個“動態”的因素讓一個函數展示，即y=ax-b，另一個是“靜態”的二次函數y=x2，分離之后可以得到x2-6≤ax-b≤x2-2對x∈[0，b]恒成立.

師：很好，你的數學眼光非常獨到！對于這樣的分離，你能從函數圖像上解釋它的含義嗎？請大家畫出圖像進行思考.

筆者巡視，作個別指導，讓學生體會這里的參數a，b的作用，會結合圖像分析問題，選擇有代表性的學生進行展示.

生：x2-6≤ax-b≤x2-2對x∈[0，b]恒成立，也就是說x∈[0，b]時直線y=ax-b夾在兩個拋物線y=x2-6與y=x2-2之間.

師：由于a，b可以變化，直線如何運動？

師生共同討論，幾何畫板動態演示，得到結論：從圖像的角度看，就是以斜率為a，截距為-b的直線在x∈[0，b]上始終夾在拋物線y=x2-6與y=x2-2之間.

由直線y=ax-b與y軸的交點可知-6≤ -b≤-2，即2≤b≤6.

由圖像可知，要求b的最大值即求A點橫坐標的最大值.即y=ax-b與y=x2-2相切于點B，求此時y=ax-b與y=x2-6的相交點A的橫坐標.

解法3：存在實數a，使得當x∈[0，b]時，2≤f（x）≤6恒成立，即2≤x2-ax+b≤6，可得x2-6≤ax-b≤x2-2.

由圖2可知，當直線y=ax-b與y=x2-2相切，聯立y=x2-2，

y=ax-b得x2-ax+b-2=0，Δ=a2-4（b-2）=0，即a2=4（b-2）.

聯立y=x2-6，

y=ax-b得x2-ax+b-6=0，得x=. 所以xA==b. 又a2=4（b-2），所以=，得a2-2a=0. 由圖知a>0，所以a=2，此時b=3.

生：這個解答過程很美！

師：數學之美就蘊含在我們的思維之中！

點評：學生解決問題的思維不是憑空產生的，數學思維的發展也是有其基礎的.通過課堂教學活動，使學生經歷觀察、分析、類比、歸納的方法，將陌生問題轉化為常見的、熟悉的問題是復習解題教學的常用策略.

比如學生對參變量分離法是熟悉的，但大部分學生對其的理解還不夠靈活，這里就需要教師進行充分的引導，從學生熟悉的知識進行類比，讓學生充分感悟其中的思想方法，從“動”與“靜”的眼光審視這個問題.正如學生所說數學是美的，只有真正經歷了這個過程，學生的數學眼光才會變得開闊，數學思維才會得到提升，進而使得數學素養得到發展.

3. 建立模型，內化習得

有了“動”“靜”分離的觀察眼光，我們再來看下面一題：

例2（浙江省2016年4月學業水平考試第18題）：設函數f（x）=

-ax-b（a，b∈R），若對任意的正實數a和實數b，總存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，則實數m的取值范圍是（ ）

A. （-∞，0] B.

-∞，

C. （-∞，1] D. （-∞，2]

齊：可以看成y=與y=ax+b的函數組合.

師：很好！那對題目中的量詞如何進行轉化？

生：存在x0∈[1，2]，使得f（x0）≥m，即f（x0）max≥m.

師：那對任意的正實數a和實數b又該如何轉化呢？

生：我們求得的f（x0）max肯定是含有參數a，b的，比如f（x0）max=M也就是M≥m對任意的正實數a和實數b恒成立，也就是Mmin≥m.

師：很好！由于f（x0）max含變量a，b，不妨設f（x0）max=M（a，b）.

生：這個符號有些抽象，但這樣理解還是可以的.

師：從數形結合的角度，f（x0）max=M（a，b）如何求解？

學生畫圖解題，筆者巡視指導，發現學生有一定的困難.

師：直線y=ax+b有兩個動態因素，如果你覺得直接考慮有困難，是否可以先假定一個，讓另一個變量發揮作用呢？

生：由于a>0已知，可以先畫一條斜率為正的直線，再改變截距進行平移.

師：很好，那你能說說f（x）=

-ax-b在圖像上表示的含義嗎？

生：函數轉變為f（x）=

-（ax+b），它表示的是取同一個自變量x時的函數值之差，在圖像上表示的就是線段AC或BD的長度.

師：那也就是說M（a，b）=max{AC，BD}，那相對這條直線而言，什么情況下M（a，b）有最小值呢？（根據學生的圖，用幾何畫板進行動態演示）

生：應該是AC=BD時可以取到最小值，要不然就是AC變大或BD變大.

師：觀察能力非常強！其實這里還隱含了我們學過的兩個不等式：max{f（x1），f（x2）}≥，min{f（x1），f（x2）}≤. 其實質是兩個函數值中的最大值大于或等于他們的平均數；兩個函數值中的最小值小于或等于他們的平均數. （有了模型再這樣解釋這兩個不等式學生就更容易理解了）

師：對于確定的斜率a，M（a，b）min的求法已經解決，接下了我們可以調節斜率a了.

生：由于斜率a≥0，顯然當a=0時，M（a，b）min=AC=BD=. 也就是m≤.

師：經歷這個過程，再看看你對f（x）max=M（a，b）的理解有改變嗎？同時我們也感覺到，只要能建立起數學模型，用數形結合的辦法解決函數問題就是高效的.

師：我們再從數的角度來看看這道題目，由于a≥0，所以函數y=-ax-b單調遞減，所以f（x0）max=M（a，b）=max{f（1），f（2）}=max{2-a-b，1-2a-b}≥.

再結合絕對值不等式可得≥=. 由于a≥0，所以f（x0）max=M（a，b）≥.

點評：對于新接觸的數學知識、數學思想、數學方法要能轉化為能力，外顯在解決數學問題的過程中，必須要有內化的過程，使學生建立起數學模型. 只有經歷了這樣的學習過程，學生的數學思維才能得到鍛煉，能力才能提升. 教師要善于抓住課堂生成的教學資源，通過學生的分析和解決鼓勵學生進行積極探究，促進數學思維的提升. 本例通過學生建立的數學模型解決問題后教師再介紹代數方法的解答，使學生的數學思維更加嚴密，核心素養得到發展.

4. 應用模型，課后探究

師：通過上面兩個題目的探究，我們對“動”“靜”分離達成了共識，建立了數學模型，課后請大家進一步去解決下面這個問題：設函數f（x）=

-ax-b，a，b∈R. 若對任意實數a，b，總存在實數x0∈[0，4]使得不等式f（x0）≥m成立，求實數m的取值范圍. （2015年1月浙江省學業水平考試第34題）

點評：學生的認知水平是層層遞進、螺旋上升的，本題是在例2的基礎上進一步的提升，相信通過前兩個問題的解決后學生對這題是有探究的過程的，經過大家的思考和探究，后續交流、分享必定會十分精彩.

5. 課堂小結，感悟提升

師：今天我們通過幾道學考題目復習了多變量函數最值問題的求法. 在解決的過程中，我們通過對參數在函數性質中的作用，樹立了“動”“靜”分離的意識，建立了一個利用數形結合解決問題的模型. 在這一過程中我們的數學眼光更加開闊了，探究興趣更加濃厚了，數學思維得到了提升. 同時在解決問題的過程中將涉及的陌生的問題轉化為熟悉的問題，形式化的代數問題轉化為數形結合的直觀問題，復雜的問題轉化為簡單的問題，這些解題方法和策略將會給我們的數學學習帶來更多的啟示.

點評：課堂小結最后起到提綱挈領的作用，讓學生感受教師設計這節課的意圖，從而回顧本節課經歷的活動過程，使分析問題、解決問題的意識得到更進一步的提升.

[?] 課后反思，引領教學

《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出要深化高考考試內容改革的方向，“依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力”.[2]作為對教學評價的高考試題，基礎性和綜合性應該是命題的方向. 浙江省作為深化課程改革的實驗區在這方面已經走在了全國的前列，通過對上述幾例雙參數函數最值問題的探究，可以看出要求學生運用數學思維分析問題，靈活應用數學思想方法解決問題. 因此，高三復習解題教學通過學生親身經歷數學活動的過程，獲得感性的認識和體驗，提升理性的思維，從中獲得數學意識、數學能力和數學素養.

作為一線教師，最主要的任務是在日常教學中幫助學生把具體的知識理解到位并能用于解決問題中，面對平凡的課堂教學在數學知識教學的過程中尋找發展學生數學核心素養的途徑，應該成為每位教師的追求. 筆者以為，要做到發展學生數學核心素養的課堂，必須做好以下幾個方面：

1. 深入探究，自我提升

打鐵還需自身硬，在深化課程改革背景下的教學，教師必須進行深入學習課改理念來指導我們的教學. 同時要不斷地深入研究教學內容，學習高考試題形成較高的研課、研題能力，揭示問題的本質. 只有不斷地提升自身的專業素養，才能在課堂教學的設計中發現并培養學生數學核心素養的生長點；才能在課堂教學過程中有針對性地評價學生的數學思維，充分暴露自己的思維過程；才能讓學生領悟到問題的本質，有助于學生掌握數學思想方法，提升理性思維的能力，最終發展學生的數學核心素養.

比如，在高三復習階段的教輔用書使用過程中，有這樣一道題：設函數f（x）=x2+px+q，（p，q∈R）. （1）略；（2）若不等式f（x）>2在區間[1，5]上無解，試求所有的實數對（p，q）.

參考答案給出的是解復雜的不等式組的方法，甚至建議可以用線性規劃的方式解得實數對（p，q）. 這顯然是沒有理解對這道題目. 本題應該是例1的一種特殊情況，筆者相信命題者應該是針對浙江省會考試題的一種改編. 將原題轉化為f（x）≤2在區間[1，5]上恒成立，即-2-x2≤px+q≤2-x2. 如圖4，直線夾在兩個定拋物線之間，此時直線AB正好與下方拋物線相切，也就是y=px+q的方程即為直線AB的方程，問題得以解決.

如果教師自身沒有進行深入的探究，對這種問題沒有從本質上去加以分析探究，只按照教輔答案進行講解，可想而知，要落實深化課改的理念只能是紙上談兵.

2. 學生為本，自主習得

學生為主體、教師為主導的課堂教學理念應該堅持在日常教學中不折不扣地落實. 學生的學習過程其他任何人都無法代替，必須要由學生親身經歷并感悟獲得. 教學過程不應只限于接受、記憶、模仿和反復練習，應該在教師的引導下進行自主探究、親身實踐、合作交流、思維呈現等豐富學生的數學學習方式. 同時在課堂上要及時展示學生的學習作品，相互激勵并培養學生獨立思考、自主學習、積極探究的數學學習習慣，將所學的知識內化為解決問題的思想和方法，提升思維發展素養.

3. 提升能力，發展素養

數學核心素養表現為外在的關鍵能力和內含的思維品質，同時學生的思維品質通過對學生分析問題、解決問題的考查得以體現. 因此，課堂教學必須要通過學生經歷數學活動的過程，從中形成數學思想和能力.

數學思想方法的形成和能力的提升需要一個過程，這就需要教師在課堂教學時將用數學思想方法分析、解決問題的意識貫穿于教學之中，站在學科的高度關注知識的交匯，引導學生用數學的眼光觀察、分析問題，用數學的思想方法解決問題. 將數學思維能力的培育滲透到平時的課堂教學之中，以數學知識為載體，培養學生的思維能力，最終發展學生的數學核心素養，為學生的終身發展奠定基礎.

面對高考仍然作為教學評價的重要依據的深化課程改革，高三數學復習解題教學是必不可少的. 作為一線教師，讓我們轉變觀念，重新審視復習解題教學的意義，在以發展數學核心素養的理念下設計教學，使學生在復習教學中以知識復習為載體，經歷思考過程，積累活動經驗，構建數學模型，形成思想方法，發展核心素養，完善思維品質，這樣必將在新高考中收獲成功.

參考文獻：

[1] 王尚志. 如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J]. 中國教師，2016（5）上半月刊：33-38.

[2] 任子朝、陳昂. 加快高考內容改革增強基礎性和綜合性[J]. 數學通報，2016（6）：1-3.