回歸課堂教學，有效培育學生的數學核心素養

王炯廉

[摘 要] 數學核心素養是一個高度抽象的思維產物，它要高于數學知識、數學一般的思維方法，使人能從數學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力. 高中數學教學活動是以提升學生基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗能力為目的的教學，因此激發學生的學習興趣，調動學習積極性和主動性，進而提升學生的數學核心素養是教學過程的關鍵.

[關鍵詞] 數學素養；微專題教案；自主探索；合作交流

數學核心素養，是指在眾多的數學素養內那些關鍵的、處于重要位置上、使用頻率較高的素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面. 數學核心素養是一個高度抽象的思維產物，它要高于數學知識、數學一般的思維方法，使人能從數學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力. 高中數學教學活動是以提升學生基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗能力為目的的教學，因此激發學生的學習興趣，調動學習積極性和主動性，進而提升學生的數學核心素養是教學過程的關鍵. 針對高考的考情要求和本?？忌膶W情，筆者設計了一篇高三一輪復習的微專題教案，讓學生通過自主探索、合作交流等學習方式，以點帶面，有效地提高數學能力和成績.

[?] 基于高考，聚焦核心素養，明確教學目標

1. 研究考題，掌握考情

直線與圓的位置關系是近幾年高考和模擬考試常考的知識點（在近幾年高考中，每年都有出現，比如2013年第17題，2014年第9題、第18題，2015年第10題，2016年第18題），本節主要通過圓心到直線的距離（幾何法），或從方程根（代數法）的角度來量化直線與圓的位置關系，考查弦長、交點、切線、距離最值等知識點，一般難度不大，但若考查其解析性質，即通過形式上的轉化，與函數、方程、三角函數、線性規劃等知識相結合，難度就會大大提升. 數形結合和轉化歸納是掌握好本節知識點的關鍵，本題常以填空題的形式進行考查，以解答題的形式進行考查時，常常與其他章節知識相關聯，用來解決實際問題，高考要求為B級.

2. 明確目標，培養數學能力

從知識層面上，通過本課教學使學生熟練掌握直線與圓位置關系的判斷方法，回歸課本，引導學生從不同角度思考問題，解決基本的弦長、交點、切線、距離等問題；從知識結構上，通過不斷地改變問題情境，培養學生的觀察分析、數形結合、拓展延伸能力，總結解決直線與圓位置關系問題的通性通法，以點帶面，促進學生構建知識網絡；從培養學生能力的角度上，通過題目內在的聯系，培養學生抽象概括、數形結合、轉化化歸的數學思想以及應用數學知識解決問題的能力.

[?] 基于課本，培育核心素養，優化教學設計

1. 課前熱身，自主學習

（1）（教學與測試·鞏固練習1）圓x2+y2-4x=0在點P（1，）處的切線方程是 x-y+2=0 .

（2）（教學與測試·鞏固練習3改編）已知P（x0，y0）是圓x2+y2=a2內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=a2與此圓公共點的個數是 0 .

（3）（必修2第117頁習題9）直線l：kx-y-4k+3=0與圓x2+y2-6x-8y+21=0的位置關系是 相交 .

（4）（教學與測試·鞏固練習2）動圓x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒過一個定點，則這個定點的坐標是 （1，1）或

，

.

設計意圖：問題（1）通過自主學習，掌握過圓上一點求切線的基本方法，進而復習、回顧一般性結論：過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2；問題（2）復習了點與圓、直線與圓的位置關系，題中參量較多，學生較易混淆概念，教學中應強調圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系；問題（3）用常規的解題思路計算量大，學生容易走進“死胡同”，數形結合從直線的特征入手，既復習了直線系，又復習了點、線、圓三者的位置關系；問題（4）的設置是問題（3）的延續，其實質是用代數法求解交點問題.這幾個課前熱身的問題的設置是希望學生通過完成預習題型，對直線與圓的位置判斷從幾何和代數角度有一定認識.預設題型的教學用10分鐘左右的時間，讓學生交流解題方法，總結易錯點和經常性結論，教師根據學生的回答，進行適時點撥以達到學生真正理解和掌握基本知識的目的.

2. 經典例題，合作探索

例1：（教學與測試·例1改編）已知直線l：5x+12y+a=0，圓C：x2+y2-2x=0. 試判斷直線l與圓C的位置關系.

解：圓C：（x-1）2+y2=1，圓心為（1，0），半徑為1，圓心到直線的距離為d=.

直線l與圓C相切?d=1，由=1，解得a=8或a=-18.

直線l與圓C相交?d<1，由<1，解得-18

直線l與圓C相離?d>1，由>1，解得a<-18或a>8.

變式1：若a=8，則切點坐標為

，-

；

變式2：若a=7，則直線l被圓C截得的弦長為 ；

變式3：若a=21，則圓上一點到直線l的最大距離為 3 ；

變式4：若直線l與曲線y=有一個公共點，求a的取值范圍.

解：曲線y=表示x軸上方的半圓，由其圖像可知，a=-18或-10

變式5：若點（x，y）滿足x2+y2-2x=0，求5x+12y的取值范圍.

解：令t=5x+12y，易知5x+12y∈[-8， 18].

變式6：已知圓C：x2+y2-2x=0上有且僅有一個點到直線l：5x+12y+a=0的距離為1，求實數a的取值范圍.

解：平面內，到直線l：5x+12y+a=0的距離為1的直線是5x+12y+a±13=0，圓與此兩直線中的一條相切，另一條相離，解得a=-31或者a=21.

設計意圖：原題主要是讓學生通過（幾何法）圓心與直線的距離同半徑相比較，量化相切、相交、相離時的關系，學生通過交流討論，很容易得出答案；變式1～3是原題的延續，較之原題，把切點、弦長、距離等問題具體化，教師可按學生情況，繼續設計變式，如相交時，交點與圓心組成的三角形面積的最大值為多少等；變式4-6，題目形式上有所改變，需要學生探索其本質含義，通過必要的轉化，變為直線與圓的位置關系問題，此題的設計主要是為豐富學生的知識結構，培養學生轉化、結合的能力.

說明：數形結合是分析變式4-6的關鍵，無論是變式5的線性規劃，還是變式4的半圓方程，其本質都是直線與圓的位置關系，分析時要將答案與圖像對應起來，弄清其幾何意義.

例2：（教學與測試例4改編）過點M（2，4）向圓C：（x-1）2+（y+3）2=1引兩條切線，切點分別為A，B. 求：（1）切線MA，MB的方程；（2）直線AB的方程，切點弦AB的長.

解：（1）過點M（2，4）的切線斜率不存在時，x=2符合題意；切線斜率存在時，設切線為y-4=k（x-2），由d==1解得k=，所以切線為24x-7y-20=0或x=2. （2）C，A，M，.B四點在同一圓周上，CM為直徑，圓心為

，，易知其方程為x2+y2-3x-y-10=0. 又因為AB是圓C與此圓的公共弦，相減得直線AB：x+7y+19=0. 因為C到直線AB的距離d=，又圓C的半徑為1，故AB=2=.

變式1：若將原題中的點M改為在直線3x+4y-6=0上運動的動點M，則四邊形MACB面積的最小值為多少？

解：S=2S△MAC=，MC的最小值即為點M到直線3x+4y-6=0的距離，所以d==3，S≥2.

變式2：（教學與測試·自我檢測5）過點M向半徑為1的圓C引兩條切線，切點分別為A，B，則·的最小值是多少？

解：設∠AMB=2θ，則·=

2·cos2θ=2sin2θ+-3≥2-3.

設計意圖：原題設計圍繞相切問題展開，目的在于變換思維角度，問題（2）焦點弦的處理可與下一課時的圓系方程聯系，調動學習的主動性. 變式1和變式2的設計在此基礎上加入了切線長問題，與三角函數、向量相結合，培養學生拓展的思維，達到完善知識體系的效果.

說明：求切線長時將切線長轉化為點到圓心的距離，實現未知向已知的轉化，解題時若求切點坐標，計算將非常繁雜.

例3：（蘇教版必修2第114頁例3改編）已知直線l：kx-y-k+1=0與圓O：x2+y2=4，求直線l被圓O截得的最短弦長.

解：直線與圓相交時，半徑、弦心距和半弦長構成直角三角形，即

+d2=r2. 因為r2為定值，所以l最小時d最大.由課前預習問題（3）可知，直線l恒過定點M（1，1），所以當直線l與OM垂直時，d最大，即l最小，此時d=，所以最短弦長l=2=2.

變式1：已知圓O：x2+y2=4，過圓內一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求EF2+GH2的值.

解：作OD1⊥EF，OD2⊥GH，設OD1=d1，OD2=d2，

EF2+GH2=4（r2-d）+4（r2-d）=8r2-4（d+d）. 因為d+d=2，所以EF2+GH2=24.

變式2：已知圓O：x2+y2=4，過圓內一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求四邊形EGFH面積的最大值.

解：四邊形EGFH的面積S=EF·GH，由變式5EF2+GH2=24，所以S≤×=6，當且僅當EF=GH時取最大值.

變式3：已知圓O：x2+y2=4，過圓內一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求線段EG中點Q的軌跡方程.

解：設點Q（x，y），因為EG為圓O的一條弦，所以OQ2+

=r2. 因為=MQ，所以OQ2+MQ2=r2，所以x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4，化簡得

x-

+

y-

=. 這是以OM中點為圓心，為半徑的圓.

變式4：已知圓O：x2+y2=4，過圓內一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，若=+，求

的最大值.

解：由=+可知，變式3中的Q為MN的中點，因為點Q的軌跡方程為

x-

+

y-

=，由相關點法可求得點N的軌跡方程為x2+y2=6. 因為點M在這個圓內，所以

的最大值為+.

設計意圖：原題的設計圍繞相交弦長展開，是模擬考和高考中的常見題型，設計此題的目的在于培養學生探索問題、轉化歸納的能力. 幾個變式的難度由淺入深，依據循序漸進的教學方式，可提高學生的審題能力，激發學生的學習興趣，調動學生的學習主動性. 對于變式中的不同問題，可以嘗試不同方法，讓學生體會其中的變化.

3. 課堂反饋，動手實踐

1. （教學與測試·基礎訓練2）在圓x2+y2-2x-6y=0內，過點E（0，1）的最長弦與最短弦分別是AC與BD，則四邊形ABCD的面積是 10 .

2. （2014年江蘇高考第9題）在平面直角坐標系xOy中，直線x+2y-3=0被圓（x-2）2+（y+1）2=4截得的弦長為 .

3. （教學與測試·鞏固練習4）已知實數x，y滿足x2+y2+2x-2y=0，則的最大值是 - .

4. （2010年江蘇高考第9題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是 （-13，13） .

設計意圖：課堂的及時反饋，是教師掌握學生課堂學習效果與質量的重要環節. 設計的幾個題型圍繞例題展開，目的在于一方面讓學生感受高考題，熟悉其設計思路；另一方面，希望在學生實踐活動的基礎上，及時總結歸納，反思得失.

4. 復習鞏固，課后反思

1. （2013年蘇錫常鎮模擬題第10題）已知圓C：（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）與直線y=3x相交于P，Q兩點，若∠PCQ=90°，則實數a= .

2. （2014年南通三模第12題）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0. 若直線y=k（x+1）上存在點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數k的取值范圍是 [-2，2] .

3. （2014年蘇錫常鎮一模第14題）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點. 若△ABC的面積的最大值為16，則實數m的取值范圍為 [3+2，3+2）∪（3-2，3-2] .

4. （2016年江蘇高考第18題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓x2+y2-12x-14y+60=0及其上的一點A（2，4）.

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程.

（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC=OA，求直線l的方程.

（3）設點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P，Q，使得+=，求實數t的取值范圍.

解：（1）因為兩圓外切，r-7=r+5，所以r=1，圓N的標準方程為（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）設平直線l的方程為y=2x+b，BC=OA=2，所以圓心M到直線l的距離為=2，解得b=5或b=-15，所以直線l的方程為y=2x+5或y=2x-15.

（3）要使得+=，則四邊形ATPQ為平行四邊形，PQ=AT∈[4，10]，即16≤（t-2）2+42≤100，解得t∈[2-2，2+2].

設計意圖：設計高考、模擬考題型的訓練，幫助學生及時鞏固所學知識，體會考點要求，查漏補缺.

[?] 基于現實，提升核心素養，總結方法經驗

數學核心素養的載體是課堂教學與設計，有效提升學生的數學核心素養，關鍵在于高效的課堂教學和設計.

首先，在高三復習的教學設計時，應當充分重視課本基礎題的訓練，高考題在設計時往往都是以課本例題為藍本，以此為基，通過變式訓練，依次遞增難度，培養學生數學思維能力和探究能力，進而逐步形成“觀察→抽象→探究→猜測→論證”的思維習慣，學會用數學的思維去分析社會，思考和解決生活中的問題，有效地提高自身的素養.

其次，有效提升學生的數學核心素養，要求培養學生的科學精神，勤于思考，善于實踐，勇于質疑.從問題中來，實事求是，科學地分析問題；到問題中去，拓展思維，用發展的眼光看待問題.還要求培養學生不同角度、不同深度、不同緯度思考問題的思維方式. 因此，教學設計時要注重知識點的相關性，通過題型的轉化和化歸，把學生分散的、孤立的知識點整合在一起，不但掌握“表面”上的共同點，還要理解“本質”的相互聯系，逐步地建立起一套完善的數學體系，有效地提高學生的思維方式.

最后，有效提升學生的數學核心素養，是一個循序漸進、逐步完善的過程. 課堂學習中要以學生為本，圍繞學生的所思所想設計課程，并讓學生不斷地進行反思：①解題中應用了哪些知識點——想相關的知識點；②怎樣做出來的——想解題的方法；③為什么這樣做——想解題的依據；④有無其他方法——想一題多解，培養求異思維；⑤能否變通一下而變成另一習題——想一題多變，促使思維發散.充分發揮學生自主學習的積極性和主動性，從本質上提高學生的數學素養，讓學生能用數學的思維方式觀察生活，解決實際問題.