探究高中數學教學材料的意義

王法巖+彭猛

[摘 要] 教學材料是師生教與學的載體，教學材料可以是教材，更應當是教師對教材的重新設計. 教學材料的意義在于其對學生學習的促進，因此研究學生，讓學生在比較中學習，讓學生對數學知識進行精加工，是讓教學材料變得有意義的重要途徑. 教學材料要面向學生才能彰顯其意義，而這就意味著教師在教學設計的時候要具有學生視角，要善于站在學生的角度思考問題，思考知識發生的邏輯.

[關鍵詞] 高中數學；教學材料；意義

在教學中有一個很基本的行為，那就是向學生提供教學材料，實際上也正是教學材料，才將師生的教學關系緊緊聯系在了一起. 在這樣的互動過程中，很少有人去反思材料的意義，因為教學材料的提供如同人的生存需要呼吸一樣——因為必須而顯得日常，因為日常而忽視. 但如果真的去思考一下教學材料的意義，又會發現這無論是對課堂教學的有效性，還是對學生學科素養的提升，都有著直接且至關重要的影響，因此教師還是有必要重新認識一下教學材料的意義的.

在高中數學教學中，教學材料的來源有兩個方面：一是包括課本在內的書面資料；二是教師的教學設計. 這些材料提供給學生之后，學生是如何有效加工的，這是本文關注的重點. 下面分三個方面來說明.

[?] 教學材料的意義及相關研究

關于教學材料的意義，教育專家其實進行了不少的研究，著名教育家奧蘇泊爾就曾針對當時的教材提出了一些觀點與意義. 他認為當時的教材將一些原本有著重要聯系的知識（奧蘇泊爾稱之為觀念與問題）分成了獨立的章節，而沒有凸顯這些知識之間的重要聯系，這樣的教學必然會導致學生產生“極大的認知緊張與混淆”. 仔細思考奧蘇泊爾的這段描述，筆者以為還是有著很強的啟發意義的. 今天的高中數學教材編寫堅持的是“一標多本”的原則，由國家統一制定課程標準，然后各地區根據課程標準編寫教材. 通過比較可以發現不同版本的教材在呈現知識的順序以及所選用的內容上存在著較大的區別. 作為一線教師，我們不否認這樣做的價值與意義，但需要注意的是學生的認知規律總是相似的（至少不會有明顯的地區差異），那不同編寫思路的教材如何更好地適應學生的學習呢？筆者以為一線教師需要思考這個問題，而思考這個問題，實際上也就是在思考教學材料的意義.

這里不妨以蘇教版高中數學必修1中的“函數概念與基本初等函數I”的教材編寫為例，來分析一下教學材料的意義. 這一章被分為6個小節，分別是：函數的概念和圖像、指數函數、對數函數、冪函數、函數與方程、函數模型及應用. 從知識發生的邏輯角度來看，通過函數概念與圖像的學習奠定基礎，然后學習三個基本函數；再在此基礎上比較函數與方程，進而構建一個比較全面的函數模型并研究其運用，顯然是一個符合知識發生邏輯的思路，從這個角度講其是有意義的. 但是需要注意的是，這只是宏觀角度的知識發生順序，而一個更為細致的知識比如說函數的概念的構建需要什么樣的材料來加工，函數模型的建立又需要哪些材料來加工，這些教學材料的意義才直接決定著學生學習的有效性. 于是可以將研究的視角轉向具體的教學內容，如在建構函數的概念的時候，教材給出的是三個例子：一是人口數量變化趨勢；二是一個物體自由下落時下落距離與時間的關系；三是某市一天24小時的氣溫變化圖. 這三個例子呈現給學生的時候，最為關鍵的是什么？顯然是讓學生通過對三個例子的分析與綜合，進而發現這三個例子中都存在著兩個變量，且一個變量的取值確定后，另一個變量的值也確定而且是唯一的. 那么，學生能不能做到這一點？或者說學生在具體的學習中他們的思維會是怎樣的？

根據筆者的教學經驗發現，絕大部分學生在此知識的學習中可以形成上述的因果對應關系，也就是說學生可以順利地發現兩個變量及其唯一對應關系，這說明這一教學材料對他們來說是有意義的；但對于另外少數學生來說會出現一種情形，他們在研究材料的過程中不能發現變量，更加難以發現對應關系. 尤其是對于第一個例子而言，在他們的固有觀念中，國家的人口數量與年份之間不應該有著影響關系，用有些學生的話說，哪一年多少人口與這一年有什么關系呢？這明顯不存在影響關系啊. 這種在教師看起來無法理解的邏輯就是在學生那里頑固地存在著，而這個問題不解決，他們就無法順利接受教師所強調的變量及其對應關系. 即使教師再作重復與強調，他們也會心存芥蒂. 這個時候，這一教學材料對他們這少部分學生來說，其實就是無意義的，或者說意義是沒有顯露出來的，還需要教師針對他們的思維特點做出修改，以使教學材料的意義顯露出來.

由此可見，數學教學中教學材料有意義與否，固然要本著以本為本的思路去實施教學，即認為教材的材料存在著有意義的前提，但真正的意義其實是顯示在學生的學習過程中的，因此又需要教師針對學生的實際去發掘、發現意義的途徑，而這也是教師備課的價值所在.

使教學材料變得有意義

那么，如何讓教學材料變得更有意義呢？

第一，就是研究學生. 研究學生的什么？研究學生的認識規律. 說得更具體一點，就是研究學生在構建一個數學概念的時候，他可能會怎么想，可能會遇到哪些障礙，又如何克服這種障礙？比如說上面對于少部分學生而言的函數概念的構建，筆者以為最好的選擇，就是幫他們梳理好人口數量與年份的關系，要讓學生認識到這里并不是說每年的人口數量與年份之間存在著互相影響的關系，而是根據每一年的人口數量來判斷“人口數量的變化趨勢”——這才是本教學材料中的一個關鍵詞，也是化解學生理解障礙的一個突破口（實際上部分建構順利的學生也并沒有意識到這個問題，他們只是更多的在教師的講授之下完成了一個同化的過程而已）.

第二，讓學生在比較中學習. 一個好的教學材料，一定是可以順利地讓學生進行比較的，比較的對象就是學生已經掌握的或已經學過（與已經掌握有所區別）的，只要學生在學習中有比較的機會，那新知識的構建往往就比較順利. 比如說在學習指數函數的時候，就可以設計讓學生通過其與此前已經學過的正比例函數、一次函數、二次函數等進行比較，以讓學生認識到學習一個新的函數要從哪些方面進行，而新的函數與已有函數又存在哪些區別，這些都是比較的結果. 又比如說在函數模型的建立中，一個重要的工作就是讓學生去比較指數函數、對數函數、冪函數這三個基本的初等函數，并尋找它們之間的聯系與區別，一旦學生認識到函數就是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，是研究變量之間依賴關系的有效工具，那函數模型就基本建立了. 筆者以為，如果在教學中，教師能夠大膽地將這個比較的過程交由學生自主完成，那這樣的教學過程必定是有效的，學生的數學素養也會迅速形成.

第三，讓學生進行精加工. 精加工是一個淺顯易懂的教學概念，就是指學生在學習的過程中，能夠對某個知識點進行詳盡的思考，思考的對象是明確的，思考的范圍是全面的，思考的角度是深入的. 精加工的最大好處，是發現教學材料對促進學習的作用（當然學生不需要理解這一點，精加工對學生的意義就是能夠讓他們在深度思考中發現知識的意義）. 精加工的過程有時候也是復雜的，還很有可能遇到精加工無法遇到的問題，而這些問題如果能得到解決，實際上也是精加工成功的標志. 精加工的方式是多樣的，上面提到的比較其實也是一種精加工，一題多變、一題多解也是一種精加工——有經驗的教師應當發現，這樣的精加工往往可以讓學生對這一習題的印象更加深刻，而基于此進行發散教學，往往可以讓學生更好地形成知識組塊.

讓教學材料更好地面向學生

教學材料的意義性，嚴格來說是面向學生時表現出來的意義性，好的教學材料一定是由教師精心設計出來的——無論是過去所說的“備教材”，還是現在流行的“用教材教”，其實都是指向這一點的；而教學材料有意義與否，還需要經過學生的學習過程來檢驗，這里所說的面向學生就是這個意思.

這里需要建立一個觀念，那就是從“教材”向“學材”的轉變，教學材料固然是師生共用的，但教本身就是服務于學生的學的，因此教材變成學材才能讓學生在對教學材料的有效加工中獲得數學知識的建構. 而要做到這一點，也不是十分困難的事情，一個重要的前提就是建立學生視角，從學生的角度去考慮問題. 比如建構函數的模型，教師就要思考經過此階段的學生，學生已經掌握了函數的哪些知識，這些知識能否幫他們形成對函數的整體認識——只有在整體認識之后才能將這些知識概括上升為模型.

總之，有意義的教學材料一定是能夠促進學生順利構建知識的材料，也只有一切從學生的學習角度出發時，才能讓教學材料的意義更為彰顯.