X2+1和梅森素?cái)?shù)

段貴軍

一、X2+1素?cái)?shù)

1.X2+1素?cái)?shù)概念

在X2+1數(shù)中，當(dāng)X為偶數(shù)（1是唯一特例）時(shí)，例如：12+1=2； 22+1=5； 42+1=17；……中的2、5、17、……皆為素?cái)?shù)，這種素?cái)?shù)是否有無(wú)窮個(gè)？此為X2+1素?cái)?shù)猜想。

2是偶數(shù)中唯一素?cái)?shù)，故本文只討論求解X為偶數(shù)時(shí)的X2+1素?cái)?shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題。

X÷2為X2+1奇數(shù)個(gè)數(shù)，也是項(xiàng)數(shù)，用N表示。

2.X2+1奇數(shù)因子

因所有奇數(shù)除以4均余1和3，故奇數(shù)可表示為y=4a+1和y=4a+3兩種形式（a為0、1、2……整數(shù)），并各占奇數(shù)集合總量的1/2。據(jù)題意，可做如下假設(shè)。

假設(shè)①：X2+1=4a+1（4a+1為奇質(zhì)數(shù)）。X2=4a+1-1=4a，得出a= X2÷4，當(dāng)X為偶數(shù)時(shí)，設(shè)X=2k，a=（2k） 2÷4= k2，本式成立。

假設(shè)②：X2+1為合數(shù)，則X2+1=（4b+1）（4c+1）=16bc+4b+4c+1=4（4bc+b+c）+1（其中4b+1和4c+1均為奇質(zhì)數(shù)）。設(shè)4bc+b+c=k，則原式等于4k+1，此與4a+1是同一種數(shù)，同理可證，X2+1=（4b+1）（4c+1）……（4n+1）。

假設(shè)③：X2+1=4a+3（4a+3是奇質(zhì)數(shù)）。則a=（X2-2）÷4= X2÷4-2÷4。設(shè)X=2k，則原式等于4k2÷4-2÷4= k2-1÷2。因k2是整數(shù)，則a無(wú)整數(shù)解。故本式不成立。

綜上，X2+1奇數(shù)要么為4a+1類(lèi)型奇質(zhì)數(shù)；否則為由1至n個(gè)4a+1式奇質(zhì)數(shù)相乘積的合數(shù)，是4a+1奇數(shù)集合的一部分。

3.X2+1奇數(shù)因子的分離排除周期規(guī)律計(jì)算

X2+1奇數(shù)數(shù)列符合自然數(shù)素?cái)?shù)分布與個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理。

X2+1值差：指X12+1 到X22+1之間的變化差值，設(shè)X2= X1+c（c為偶數(shù)），即（X22+1）-（X12+1）= X22 -X12 = c（2 X1+c）。

分離排除周期計(jì)算：設(shè)奇質(zhì)數(shù)因子4a+1=m，因（X22+1）-（X12+1）= c（2 X1+c），根據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律和個(gè)數(shù)計(jì)算公式，當(dāng)c÷m=g和（2 X1+c）÷m=f（g和f均是整除最小整數(shù)）時(shí)就可以求出奇質(zhì)數(shù)因子分離排除周期。

①完整分離排除周期（c÷m=g整除）：因c為偶數(shù)，m為奇質(zhì)數(shù)，所以，g必為偶數(shù)，則g的最小值是g=c÷m=2時(shí)為一個(gè)奇質(zhì)數(shù)m的一個(gè)完整分離排除周期，2m為從X1 到X2的值差。例如X1 =8，m=5時(shí)， X1 到X2 之間的差為c=2m=2×5=10，即X2 -X1=18-8=10，則奇質(zhì)數(shù)m=5的分離排除周期內(nèi)的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)為5個(gè)，意為每五項(xiàng)有一項(xiàng)被分離排除掉。即X1 =8，此后是10、12、14、16，此為一個(gè)完整分離排除周期，自18開(kāi)始則進(jìn)入下一個(gè)分離排除周期。

②周期內(nèi)分離排除 （2 X1 +c）÷m=f（f為最小整數(shù)）：因2 X1 和c都為偶數(shù)，m為奇質(zhì)數(shù)，故f也必是偶數(shù)。因X1 和m皆已知，因此決定能否整除的因素是c值變化，如當(dāng)X1 =8，m=5時(shí)，只要c=4時(shí)，f=4是整除最小整數(shù)。即c+ X1=4+8=12，即在上面8、10、12、14、16中的12處也可以分離排除，因8<12<16，所以，也可稱(chēng)作是周期內(nèi)排除。

據(jù)以上計(jì)算可知，在同一周期（五項(xiàng)）內(nèi)分離排除兩次。

設(shè)X2+1奇數(shù)為N個(gè)，則經(jīng)過(guò)奇質(zhì)數(shù)因子m=5分離排除掉N×（2÷5）個(gè)，剩余N×（5-2）÷5=N×3÷5個(gè)；其它奇質(zhì)數(shù)因子也同理計(jì)算。

4.X2+1 素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式

把4a+1奇質(zhì)數(shù)分離排除因子從小到大依序進(jìn)行分離排除，稱(chēng)為優(yōu)先分離排除法，如5、13、17、……

設(shè)M和N為X2+1 奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)和奇數(shù)總個(gè)數(shù)，據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理得：M=N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k+t（k為X2+1奇質(zhì)數(shù)，也包括非X2+1形式的4a+1奇質(zhì)數(shù)形成的合數(shù)，如1157=13×89，k≤X2+1；t為因分離排除而減少的X2+1奇質(zhì)數(shù)，N=X÷2）。

當(dāng)N和k→∞時(shí)， M=N×3/5×7/9×11/13×……×[（k-2）÷k]（k≤X2+1），M極緩慢遞增，在相同區(qū)間范圍內(nèi)，N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k（k≤X2+1）>N×3/5×7/9×……×（k-2）÷k（k≤X2+1），雖然分離排除因子越來(lái)越多，使X2+1 奇質(zhì)數(shù)會(huì)變得越來(lái)越稀，分布密度卻趨向于恒定變化，但會(huì)永遠(yuǎn)不斷出現(xiàn)，所以，X2+1 奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)必緩慢遞增→∞個(gè)。

二、梅森素?cái)?shù)

1.梅森素?cái)?shù)概念

梅森數(shù)指2n-1（n≥2）形式的數(shù)，其中的素?cái)?shù)稱(chēng)為梅森素?cái)?shù)。

2.2n-1奇數(shù)因子計(jì)算

由（2n-1）÷4=（2n-4+4-1）÷4=（2n-4）÷4+3÷4看出，（2n-1）÷4均余3，即2n-1奇數(shù)集合是y=4a+3奇數(shù)集合的重要組成部分。

據(jù)自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律及以上X2+1素?cái)?shù)計(jì)算過(guò)程，易得以下結(jié)論。

2n-1奇數(shù)（梅森數(shù)）要么是y=4a+3式奇質(zhì)數(shù)；其余為y=4a+3式合數(shù)。其合數(shù)分為兩種：一種是由奇數(shù)個(gè)y=4a+3奇質(zhì)數(shù)相乘積形式的合數(shù)（因?yàn)榕紨?shù)個(gè)y=4a+3式奇質(zhì)數(shù)相乘積仍是y=4a+1式奇數(shù)形式）；另一種是由y=4a+3與y=4a+1兩種形式的奇質(zhì)數(shù)相乘積的形式（因?yàn)檫@兩種形式的奇質(zhì)數(shù)相乘積仍是y=4a+3式奇數(shù)，但y=4a+3奇質(zhì)數(shù)為奇數(shù)個(gè)）。雖然其中含有m個(gè)y=4a+1奇質(zhì)數(shù)，但這種數(shù)不參加分離排除，只起輔助作用，此由y=4a+3奇質(zhì)數(shù)的性質(zhì)所決定。

三、2n-1（梅森數(shù)）奇數(shù)的奇質(zhì)數(shù)分離排除周期規(guī)律

2n-1奇數(shù)由A1到A2的差值，設(shè)A1=2n-1，A2=2m-1，其中m=n+c，則差值ΔA=A2-A1=（2m-1）-（2n-1）=2n（2c-1）。

設(shè)y為某4a+3奇數(shù)，則ΔA÷y=2n（2c-1）÷y，以此計(jì)算式可求得奇質(zhì)數(shù)的分離排除周期。式中2n是1至n個(gè)2相乘積的偶數(shù)不可能整除任意奇數(shù)。若能整除只能是（2c-1）÷y=g可進(jìn)行整除，g為奇數(shù)，且g為最小整數(shù)時(shí)是奇質(zhì)數(shù)的分離排除基本周期。而最小g值是（2c-1）÷y=g=1，即2c-1=y，所以，其中的c代表該y值的分離排除周期數(shù)，而y= 4a+3是奇質(zhì)數(shù)或奇數(shù)合數(shù)。故而，梅森素?cái)?shù)的分離排除過(guò)程是在項(xiàng)數(shù)（冪序列）上進(jìn)行的，和自然數(shù)素?cái)?shù)分布規(guī)律及計(jì)算方式相同，而不用在2c-1奇數(shù)數(shù)列中進(jìn)行。

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知：當(dāng)n=1時(shí)，21-1=1不計(jì)；當(dāng)n=2時(shí)，22-1=3，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的唯一素?cái)?shù)，此后的2j（j為≥2的整數(shù)）項(xiàng)數(shù)如第4、6、8……項(xiàng)皆為合數(shù)，因子中必含有3這個(gè)因子；當(dāng)n=3時(shí)，23-1=7，即當(dāng)n為3j（j為≥2的整數(shù)）項(xiàng)數(shù)如第6、9、12……項(xiàng)皆為合數(shù)，因子中必含有7這個(gè)因子……如此可知當(dāng)n為素?cái)?shù)時(shí)才可能是梅森素?cái)?shù)，n為合數(shù)或偶數(shù)時(shí)不可能為梅森素?cái)?shù)。

四、2n-1素?cái)?shù)（梅森數(shù)）計(jì)算公式

設(shè)M和n為2n-1的奇質(zhì)數(shù)總個(gè)數(shù)和奇數(shù)總個(gè)數(shù)，k為1到n范圍內(nèi)最大奇質(zhì)數(shù)因子。據(jù)自然數(shù)合數(shù)因子分布規(guī)律原理和自然數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理，可得如下梅森素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式：M=n×（1÷2）×（2÷3）×……×[（k-1）/ k]+w個(gè)，其中k≤n，w為因奇質(zhì)數(shù)在分離排除過(guò)程中減少的梅森素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。又因?yàn)閚×（1÷2）×（2÷3）×（3÷4）×……×（k-1）/ k=n×1/ k=1，當(dāng)n→∞時(shí)，而M=n×（1÷2）×（2÷3）×（4÷5）×（6÷7）×（10÷11）……×（k-1）/ k+w越來(lái)越大于n×1/ k，故，梅森素?cái)?shù)有無(wú)窮個(gè)。

2n-1數(shù)是kn-1數(shù)中特例，2n-1（n為奇數(shù)）數(shù)中含有眾多素?cái)?shù)，其它kn-1數(shù)（k≥3）時(shí)只能有1個(gè)或沒(méi)有素?cái)?shù)。

以上兩個(gè)問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果不可避免會(huì)出現(xiàn)誤差，但其原理沒(méi)有問(wèn)題，所計(jì)算代表的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)變化趨勢(shì)是正確的，就足矣。