巧用三角函數(shù)的對稱性求值

趙開福

摘 要 對稱美是數(shù)學(xué)美的一個方面，對稱關(guān)系廣泛存在于數(shù)學(xué)問題中。正弦函數(shù)=和余弦函數(shù)=作為兩種特殊的函數(shù)，其圖象既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形。三角函數(shù)的對稱性這一重要性質(zhì)，是高考考查的熱點之一。如果能巧妙得利用對稱性的本質(zhì)含義去解題，往往會起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞 三角函數(shù) 對稱性 求值

所謂對稱性的本質(zhì)，對三角函數(shù)而言就是三角函數(shù)的自變量在其關(guān)于對稱軸和對稱中心的位置對稱取值時，相對應(yīng)的函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。如果函數(shù)的對稱軸是x=x0 ，任取，1，2，由=0 ，那么可以得到=；如果函數(shù)的對稱中心是（a，0）任取，1，2由=，那么可以得到=。下面就舉幾個例子體會一下。

首先，關(guān)于對稱軸的問題。已知函數(shù)2+2的圖象關(guān)于直線=對稱，則的值為 。

解析：一般解法是運用輔助角公式，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成正弦型函數(shù)形式，再代入正弦函數(shù)的對稱軸公式，即2+2=（2+€%o）€I6（€%o=）

由2+€%o=+，∈Z則=+，（∈Z）為函數(shù)的對稱軸。

令+= ，則€%o =+ ，（∈Z）。

又因為€%o=，所以=1。

如果利用軸對稱的基本性質(zhì)求解，任取，使==，則必有=。不妨設(shè)=0，=，由=即，從而解得a=1。

再比如，關(guān)于對稱中心的問題。已知函數(shù)f（x）=Acos（€%rx+€%o）的圖象，如圖所示，f（）=，則f（0）=_________。

解析：一般解法是利用已知的函數(shù)圖象由最小正周期確定參數(shù)€%r，由函數(shù)的零點確定參數(shù)A，€%o，從而確定函數(shù)y=f（x）的解析式，再把x=0代入求解f（0）。

即由圖象可得==，所以最小正周期T=。

又因為T=，所以€%r==3。

將（，0）代入得3€？€%o=+2k€%i，（k∈Z）。

解得€%o=+2k€%i，（k∈Z）令€%o=。

將€%r=3，€%o=代入函數(shù)解析式得f（x）=Acos（3x）。

又因為f（）=即，Acos（）=整理得Acos=。

f（0）=Acos=。

如果利用中心對稱的基本性質(zhì)求解。設(shè)函數(shù)的對稱中心為函（a，0），任取x1，x2若=a，則必有f（x1）=f（x2）。函數(shù)的圖象中給出了函數(shù)的兩個對稱中心（，0），（，0）。不難算出點（，0）也是函數(shù)的一個對稱中心。因為=，所以，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)f（0）=f（）=。

利用對稱性的本質(zhì)內(nèi)涵去處理函數(shù)的相關(guān)問題，在歷年的高考題中也屢見不鮮。比如2014年北京的高考數(shù)學(xué)試題（理科）第14題：

設(shè)函數(shù)f（）=Asin（€%rx+€%o）（A，€%r，€%o是常數(shù)，A>0，€%r>0），若f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）=f（）=f（），則f（x）的最小正周期是 。

分析：由f（）=f（）可以求出函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性且f（）=f（），可以求出函數(shù)的一個對稱中心，由相鄰的對稱軸和對稱中心之間的距離為T，則最小正周期T可求。不妨設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示：

解答：因為f（x） 在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性， 所以≤從而得到T≥。由f（）=f（），所以函數(shù)的一條對稱軸為x==；又因為f（）=f（），

則=，所以函數(shù)的一個對稱中心為（，0）。從而==，得T=€%i。

f（x）的最小正周期是€%i。

以上幾例可以看出，在解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題特別是和對稱軸、對稱中心相關(guān)的問題時，如果能巧妙靈活地利用對稱原理和對稱性在函數(shù)取值方面的本質(zhì)，可使我們在解決問題時多一條有效的途徑，同時往往能使問題得以更簡便的解決。