高中數學邏輯關系命題的一種變式研究

朱云霞

[摘 要] 考試評價是了解學生學習效果的重要手段，要進行考試就必須研究命題，而命題形式的創新一直是評價研究的難點. 高中數學中邏輯關系知識點命題常見形式是進行充分條件、必要條件、充要條件的判斷，這種命題形式在高考數學命題中經常出現. 邏輯關系命題的變式，突破了常規的形式，有助于實現測評激勵和導向功能，反映了學生思維的過程，能幫助學生積累數學的基本經驗.

[關鍵詞] 數學；邏輯關系；命題形式；變式研究

問題的提出

考試評價是了解學生學習效果的重要手段，有著導向、激勵、反饋和調控等多方面的功能. 要進行考試評價就必須研究命題，而命題形式的創新一直是評價研究的難點. 數學課程從“雙基”到“四基”的變化，要求命題必須反映這種變化.但受標準化命題思維習慣的影響，無論是中考題、高考題還是平時的單元測試題，題型無外乎選擇題、填空題、計算題、應用題等，總給人一種一成不變、單一呆板的感覺. 高考題的命題立意，并未跟上課程改革的要求，仍然是知識立意，并未轉向能力和素質要求. 如果要問一個高三學生數學高考題的形式，他一定會回告訴你：一般來說試卷有22個題，其中選擇題12個，填空題3個，后面的大題第1題通常是解三角形，第2題是立體幾何，第三題是概率統計……學生如數家珍.這一方面說明學生對高考題型了然于胸，研究透徹，另一方面也說明容易受命題的影響，養成思維定式. 因此，研究命題的新的形式，對學生而言有著重要的意義.

充分性判斷命題的常見形式

邏輯推理是數字的重要特點. 數學中的邏輯推理是從一個真的前提，即是從事實、定義、公理、定理、判斷出發必然地推出一些符合實際的、科學的結論. 數學邏輯連接詞是邏輯推理的基礎，是高中數學學習中的重要知識點. 在編制該知識點測試題時，一般而言要求進行條件判定，通常有三種形式：充分條件、必要條件、充要條件的判斷，我們都稱為充分性判斷. 對于兩個數學命題p，q，若由條件p成立，可以推出q成立，即p？圯q為真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p既是q的充分條件，又是q的必要條件，即p？圳q為真，則稱p是q的充要條件，同理q也是p的充要條件.

充分性判斷這種命題形式，在數學高考試題中經常出現.例如，2016年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）選擇題目第5題就是關于條件的判斷，該題為：設{an}是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數n，a2n-1+a2n<0”的什么條件？其備選答案有：

A. 充要條件

B. 充分而不必要條件

C. 必要而不充分條件

D. 既不充分也不必要條件.

對于該題，因a2n-1+a2n<0？圳a1（q2n-2+q2n-1）<0？圳q2（n-1）（q+1）<0？圳q<-1，所以答案C是正確答案.

2016年四川省高考理科數學試題第7題也是邏輯關系判斷題目，該題是這樣敘述的：

設p：實數x，y滿足（x-1）2+（y-1）2≤2，q：實數x，y滿足y≥x-1，y≥1-x，y≤1，則p是q的

（ ）

A. 必要不充分條件

B. 充分不必要條件

C. 重要條件

D. 既不充分也不必要條件

高考具有“指揮棒”的作用，只要高考中出現的試題形式，就是平時練習的重點. 因此，在平時練習和測試中，也經常出現條件判斷類型的試題，并且常常以選擇題的形式出現，形成固定的形式，只是命題選擇的知識點不一樣.

充分性判斷命題的變式

管理類專業學位研究生入學測試數學試題的命題范圍都是中小學數學內容，其中一種題型被稱為條件充分性判斷，可以看成是充分性判斷的變式.該題型是給出題干，條件（1）和條件（2），要求學生判斷所給出的條件（1）、條件（2）能否充分支持題干中陳述的結論，并約定以下選擇：

A. 條件（1）充分，但條件（2）不充分；

B. 條件（2）充分，但條件（1）不充分；

C. 條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分；

D. 條件（1）充分，條件（2）也充分；

E. 條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分.

為了對該變式有更直觀的理解，下面舉例說明：

例1：x<3成立，

（1）x<2，（2）x-5<0.

解：由（1）x<2，可以得x<3成立；由（2）x-5<0，解得x<5，不一定能得到x<3，因此是條件（1）充分，條件（2）不充分，選擇A.

例2：x99+y99取得兩個不同的值，

（1）實數x，y滿足條件（x+y）99=-1，（2）實數x，y滿足條件（x-y）100=1.

分析：利用特殊值方法，由條件：實數x，y滿足條件（x+y）99=-1不能推出x99+y99可取兩個不同的值. 例如，取三組不同的值x=-1，y=0；x=-2，y=1；x=-3，y=2，此時x，y的取值滿足條件（x+y）99=-1，但x99+y99的值分別為-1，-299+1，-399+299. 即是說，只有條件實數x，y滿足條件（x+y）99=-1，不能得到題干x99+y99取得兩個值的結論. 同理，取三組不同的值x=1，y=0；x=2，y=1；x=3，y=2，實數x，y滿足條件（x-y）100=1，但也不能推出x99+y99取兩個值.

如果把條件（1）和條件（2）聯合，此時條件變為：x+y=-1，x-y=1和x+y=-1，x-y=-1，兩個方程組的解分別為x=0，y=-1，x=-1，y=0，代入x99+y99得其值均為-1，因此，應該選擇E.

在一次平時數學測試中，采用該變式形式命了一道選擇題. 首先如上述一樣給出要求和約定，然后呈現題目，并讓學生進行選擇.該題如下：

題干：a，b是實數，滿足：a（a+b）>aa+b.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

條件：（1）a<0，（2）b>-a.

題目引起學生的廣泛興趣，測評結束后學生普遍反映，該題形式新穎，知識點雖然簡單，但卻不能確定自己的答案是否正確. 實際上，學生在回答這種類型的題時，必須根據信息重新命題，通常是3種情況的命題：

第1題：a，b是實數，若a<0，問a（a+b）>aa+b是否成立？？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

第2題：a，b是實數，若b>-a，問a（a+b）>aa+b是否成立？

第3題：a，b是實數，若a<0，b>-a，問a（a+b）>aa+b是否成立？

題目答題的過程反映了學生思維的過程，能幫助學生獲得數學的基本知識，積累數學基本經驗，命題符合課程改革的要求，也符號學生實際. 數學是思維的學科，在數學教學和平時測試中，讓題型豐富多彩，能使學生感到既有趣又輕松，從而實現考試評價激勵和導向的功能. 在高考命題時，也不妨試一試這種形式的命題.