談數(shù)學中的類比推理

孟許亞??

摘 要：無論是中國古代的蕭何，還是外國近代的奧恩布魯格、施旺、沃森和克里克，都使用類比思維獲得了成功。數(shù)學的發(fā)展，更離不開類比推理。學會使用類推的人，不僅會在考試中創(chuàng)造輝煌，而且在日后的公務(wù)員考試、研究生入學考試中屢屢受益。

關(guān)鍵詞：類推；驗證；行之有效；用武之地

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-043-1

《中國古代智慧故事大全》記載的一則搞笑故事，能讓我們初步了解類比推理的思維方式：秦末漢初，經(jīng)過多年戰(zhàn)事的百姓，常常吃了上頓沒下頓，不少達官顯貴卻整日飲酒作樂。漢高祖劉邦認為酒不僅耗費糧食，而且消磨意志，甚至禍國殃民，便下了“禁塞嫁娶飲酒食肉”的禁令。這項禁令客觀上取得了成效，但有少量貪圖享受的大臣仍對禁令置之不理。劉邦一怒之下，出了更嚴的“私藏酒器，毀器斬人”禁令。宰相蕭何的一位好友，遭人舉報，被查出了一套祖?zhèn)鞯脑炀破鞑模瑪?shù)日后將人頭落地。第二天，朝上劉邦見蕭何愁眉苦臉，便開導道：“其罪當誅，何憂？”。“臣憂天下也。男丁皆有塵根，有犯奸之嫌，理當絕之。然，大漢何以為繼？”蕭何的回答使劉邦意識到自己因噎廢食了。最終，那位好友自然幸免于難。

如果兩類對象具有某些類似特征，憑借其中一類對象的某些已知特征，就推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（有時簡言之為類推）。上述故事中，蕭何就是借助如果“酒器能產(chǎn)酒，該毀。”，那么“男根或犯奸，該絕”，一個類推而成的詭辯，不僅婉諫了劉邦，而且巧救了好友。

運用這種類比推理取得成功的，科學史上比比皆是：由于父親經(jīng)常用手指敲擊盛酒的木桶，根據(jù)聲音推測桶內(nèi)的酒的容量，奧地利醫(yī)生奧恩布魯格類推發(fā)明了叩診法——通過叩擊人體胸腔的方法判斷其中有無積水或積水的多少；施萊登觀察到細胞是組成植物體的基本單位，他由此而類推到動物體。接著，他廣泛地對動物各種組織進行研究，發(fā)現(xiàn)動物體也是由細胞構(gòu)成的，在此基礎(chǔ)上，建立了細胞學說；空間結(jié)構(gòu)呈螺旋型的蛋白質(zhì)，引發(fā)了沃森和克里克對DNA結(jié)構(gòu)的類推，通過DNA分子的X射線照片進行對照，證實了該推理的正確性……

數(shù)學發(fā)展史上，用類推構(gòu)建數(shù)學體系的實例更是不勝枚舉。如由“以C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程：（x-a）2+（y-b）2=r2”，得到“以點（a，b，c）為球心，r為半徑的球體的方程應(yīng)為（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2”；又如由“平行于同一直線的兩直線平行”，類推到“平行于同一平面的兩平面平行”；

不難看出，類比推理的步驟：（1）尋找合適的類比對象；（2）由一類對象的已知特征推測另一類對象也具備這些特征，得出一個猜想。

類推得到的猜想是否一直正確呢？我們先看一個類推：由平面幾何中的“垂直于同一直線的兩直線平行”，得到立體中的一個命題“垂直于同一平面的兩平面平行”，從教室的墻角能一目了然地看出這是個假命題。也就是說，類推的猜想未必正確。如果想當然地認為類推的結(jié)論正確，就會在考后扼腕嘆息。這樣一道數(shù)學競賽題“如果一個二面角的兩個半平面垂直于另一個二面角的兩個半平面互相，那么這兩個二面角（ ）A.相等 B.垂直或相等 C.相等或互補 D.以上都不對”就曾讓不少選手“大意失荊州”。解答此題，大多數(shù)考生用的是由“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補”，進行類推，認為應(yīng)選C。事實上，把可以隨意開關(guān)的門與墻面看作第一個二面角，把與上述墻面垂直的另一墻面和地面看作第二個二面角，就發(fā)現(xiàn)正確答案是D。

可見，類推的結(jié)果是否正確必須需要驗證。這一點在數(shù)學學習和研究中，務(wù)必記住。下面，筆者結(jié)合一道例題，來具體談一下，數(shù)學學習中如何進行類推。

例題 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.并證明你的結(jié)論。

【分析】 類比起點是：平面內(nèi)直角三角形勾股定理，“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”。其條件是兩線互相垂直，從平幾到立體進行類推，由二維平面到三維空間，條件理所當然地變成三個兩兩垂直的平面；原結(jié)論是“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”，由線到面、兩點的線長到三點構(gòu)成的三角形的面積，新結(jié)論是“四面體斜面的面積的平方等于三個直角面的面積平方和”。

下面來證明這一結(jié)論：

已知：平面DEFDEP、平面DFP平面DEF，平面DEP平面DFP，設(shè)三角形DEF、DEP和DFP的面積依次為S1、S2、S3，三角形PEF的面積為S。

求證：S21+S22+S23=S2

證明：根據(jù)“如果兩個相交平面同時垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面”可得直線DE、DF和DP兩兩垂直，由勾股定理易得

PE2=DE2+PD2，PF2=DF2+PD2，EF2=DE2+FD2，

在PEF中，由余弦定理，可得

cos2∠PEF=（EP2+EF2-PF2）24EF2·EP2=DE4（DP2+DE2）（DE2+DF2）

于是sin2∠PEF=（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）2（DP2+DE2）（DE2+DF2）

所以S2=14EP2EF2sin2∠PEF=14（DE2DP2+DE2DF2+DP2DF2）

=（12DE·DF）2+（12DE·DP）2+（12DF·DP）2=S21+S22+S23

數(shù)學習題的解答中，類推是一種行之有效的解題方法。只有在平時不斷地訓練，才能切實提高自己的類推水平，才能在各類考試中創(chuàng)造佳績。下列思維，使用類推，都有利于數(shù)學知識的掌握。