時空背景與表象空間

倪盼睿

【摘 要】文章通過討論躍遷振幅與時空線元之間的關系、表象空間中線元與能量-動量張量時間分量之間的關系，得到了路徑積分在四維時空背景下以及用無限小生成算符表述的形式、表象空間與四維時空之間的對應關系，以及時空曲率張量如何影響表象空間里的曲率，同時揭示了彎曲時空下動量算符對于抽象指標的測不準原理。

【關鍵詞】表象空間 躍遷振幅 時空線元 路徑積分

在量子力學中，我們可以用路徑積分來計算躍遷振幅，并且此時的路徑已經是在四維時空意義下的了?，F在的問題是如何寫出四維時空意義下每個路徑的相因子，以及其與量子算符之間的聯系。另外，抽象量子態矢可以看作是時間參數的單參函數，那么一個隨時間演化的量子事件在所有表象中對應的保長不變量，即幾何量上的線元，是可以通過作差來計算的。

一、路徑積分在四維時空背景下以及用無限小生成算符表述的形式

（一）坐標表象特征值微元的無限小生成算符表達

我們首先寫出無限小生成算符的表達形式：

（1.1.1）

其中I是單位矩陣，通過移項，我們可以得到：

（1.1.2）

此時可以取左邊矩陣的對角元，即：

（1.1.3）

考慮到量子態的歸一性，最終有：

（1.1.4）

（二）路徑積分新的表述形式

經典的路徑積分具有如下的形式：

（1.2.1）

其中的Lagrange量是一個附在運動路徑上不隨坐標改變的標量，在四維時空中我們就可以找到這樣的一個量，即時空線元長度。此時式（1.2.1）改寫為：

其中J是變換矩陣。現在利用式（1.1.4），有：

現在出現的問題在于，此時的路徑積分不一定是Gauss型嚴格可積的，因為其中的Lagrange量并不一定是的二次型，但是我們可以假設如果Lagrange量是的二次型，此時路徑積分嚴格可積。此時要求度規張量是對角化的，我們得到：

此時由于躍遷振幅的連續性條件，有：

最終我們得到躍遷振幅Gauss可積情形下的一個積分結果：

（1.2.6）

現在我們來討論其與變分為零的經典路徑之間的聯系。我們在經典路徑周圍對每個路徑的相因子做級數展開，有：

此時先討論較大的時候，此時當趨近于零時相因子是均勻分布在上的，因此積分的結果為零；而當與同階趨近于零時：

此時：

而在這里S0對應的經典路徑應該滿足彎曲時空中的測地線方程。

（三）彎曲時空下動量算符對于抽象指標的測不準原理

在量子力學中我們已經知道了如下表達式：

（1.3.1）

（1.3.2）

而由標架表示的黎曼曲率張量也是被定義成對易子的形式，因此我們可以寫出含曲率張量的不準原理。

將黎曼曲率張量用標架表示，有：

聯立式（1.3.1），有：

（1.3.4）

比較式（1.3.2），得：

故最終我們得到的彎曲時空下動量算符對于抽象指標的測不準原理為：

（1.3.6）

二、表象空間與四維時空之間的對應關系

在前文中我們已經提到如何計算表象空間中一個量子事件對應的線元，附在其上的參數不是別的，正是時間量t：

此時將能級用能量-動量張量的時間分量表示出來，而不同的能級對應的能量-動量張量的時間分量表示不同的實驗結果：

進一步地，運用Einstein引力場方程，我們可以很直觀地看到表象空間線元與四維時空曲率之間的對應關系：

其中c是光速，G00是Einstein張量的分量，G是引力常量。

再者，表象空間中一個量子事件的曲率可以通過下式計算：

（2.1.4）

最終我們得到了如下等式：

上式直接給出了表象空間中一個量子事件的曲率與四維時空曲率之間的對應關系。