時空背景與表象空間

倪盼睿

【摘 要】文章通過討論躍遷振幅與時空線元之間的關(guān)系、表象空間中線元與能量-動量張量時間分量之間的關(guān)系，得到了路徑積分在四維時空背景下以及用無限小生成算符表述的形式、表象空間與四維時空之間的對應(yīng)關(guān)系，以及時空曲率張量如何影響表象空間里的曲率，同時揭示了彎曲時空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理。

【關(guān)鍵詞】表象空間 躍遷振幅 時空線元 路徑積分

在量子力學(xué)中，我們可以用路徑積分來計算躍遷振幅，并且此時的路徑已經(jīng)是在四維時空意義下的了。現(xiàn)在的問題是如何寫出四維時空意義下每個路徑的相因子，以及其與量子算符之間的聯(lián)系。另外，抽象量子態(tài)矢可以看作是時間參數(shù)的單參函數(shù)，那么一個隨時間演化的量子事件在所有表象中對應(yīng)的保長不變量，即幾何量上的線元，是可以通過作差來計算的。

一、路徑積分在四維時空背景下以及用無限小生成算符表述的形式

（一）坐標(biāo)表象特征值微元的無限小生成算符表達(dá)

我們首先寫出無限小生成算符的表達(dá)形式：

（1.1.1）

其中I是單位矩陣，通過移項，我們可以得到：

（1.1.2）

此時可以取左邊矩陣的對角元，即：

（1.1.3）

考慮到量子態(tài)的歸一性，最終有：

（1.1.4）

（二）路徑積分新的表述形式

經(jīng)典的路徑積分具有如下的形式：

（1.2.1）

其中的Lagrange量是一個附在運動路徑上不隨坐標(biāo)改變的標(biāo)量，在四維時空中我們就可以找到這樣的一個量，即時空線元長度。此時式（1.2.1）改寫為：

其中J是變換矩陣。現(xiàn)在利用式（1.1.4），有：

現(xiàn)在出現(xiàn)的問題在于，此時的路徑積分不一定是Gauss型嚴(yán)格可積的，因為其中的Lagrange量并不一定是的二次型，但是我們可以假設(shè)如果Lagrange量是的二次型，此時路徑積分嚴(yán)格可積。此時要求度規(guī)張量是對角化的，我們得到：

此時由于躍遷振幅的連續(xù)性條件，有：

最終我們得到躍遷振幅Gauss可積情形下的一個積分結(jié)果：

（1.2.6）

現(xiàn)在我們來討論其與變分為零的經(jīng)典路徑之間的聯(lián)系。我們在經(jīng)典路徑周圍對每個路徑的相因子做級數(shù)展開，有：

此時先討論較大的時候，此時當(dāng)趨近于零時相因子是均勻分布在上的，因此積分的結(jié)果為零；而當(dāng)與同階趨近于零時：

此時：

而在這里S0對應(yīng)的經(jīng)典路徑應(yīng)該滿足彎曲時空中的測地線方程。

（三）彎曲時空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理

在量子力學(xué)中我們已經(jīng)知道了如下表達(dá)式：

（1.3.1）

（1.3.2）

而由標(biāo)架表示的黎曼曲率張量也是被定義成對易子的形式，因此我們可以寫出含曲率張量的不準(zhǔn)原理。

將黎曼曲率張量用標(biāo)架表示，有：

聯(lián)立式（1.3.1），有：

（1.3.4）

比較式（1.3.2），得：

故最終我們得到的彎曲時空下動量算符對于抽象指標(biāo)的測不準(zhǔn)原理為：

（1.3.6）

二、表象空間與四維時空之間的對應(yīng)關(guān)系

在前文中我們已經(jīng)提到如何計算表象空間中一個量子事件對應(yīng)的線元，附在其上的參數(shù)不是別的，正是時間量t：

此時將能級用能量-動量張量的時間分量表示出來，而不同的能級對應(yīng)的能量-動量張量的時間分量表示不同的實驗結(jié)果：

進一步地，運用Einstein引力場方程，我們可以很直觀地看到表象空間線元與四維時空曲率之間的對應(yīng)關(guān)系：

其中c是光速，G00是Einstein張量的分量，G是引力常量。

再者，表象空間中一個量子事件的曲率可以通過下式計算：

（2.1.4）

最終我們得到了如下等式：

上式直接給出了表象空間中一個量子事件的曲率與四維時空曲率之間的對應(yīng)關(guān)系。