幾何尺規作圖

段貴軍

摘 要：根據自制特制容器量具解決幾何尺規問題。背景：本文所述為2000多年前古希臘幾何尺規作圖中的①化圓為方和③倍立方兩個問題，同時解決我提出的幾個相似問題。

關鍵詞：幾何尺規作圖 無刻度直尺 圓規 自制特制容器具 溶液（水） 化圓為方 倍立方 化方為圓

中圖分類號：G40-09 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082 （2017） 04-0116-01

一、自制特制容器量具設計圖

二、自制特制容器量具介紹

1.半圓杯（甲）：制造一個盛水空間和已知任意圓O直徑R大小相等，厚度為1的半圓柱體杯，簡稱半圓杯。如圖（己）為任意圓O，直徑為R，厚度為1的圓柱體，沿直徑切開，變成半圓柱體，半圓杯的盛水空間和這個半圓柱體形狀相同。切面在上面并且平行水平面，如圖（甲）所示，下面有杯柄可以放置。從上面倒滿水溶液，水溶液體積為r2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。因為本容器量具的直徑和任意圓直徑相等，所以，每畫一個任意圓就需要制造一個容器量具，雖繁瑣，卻無它法。

2.直角杯（乙）：盛水空間是厚度為1的等腰直角三角形柱體杯。如圖（庚）是厚度為1的正方形柱體，沿對角線切開，取一半形狀，將頂點A朝下，切面在上面平行水平面，這就是盛水空間形狀，如圖（乙）所示，下面有杯柄可以放置。倒入水溶液后，因為AB=AC。水溶液的體積等于A B×A C×（1/2）×1（厚度）=（A B）2×（1/2）=（A C）2×（1/2）。本工具可以通用。

3.正直三棱錐杯（丙）：如圖（辛）是一個正方體，沿BCD平面切開，變成A-BCD正三棱錐體，讓A點朝下，切面在上面并且平行水平面，這就是盛水空間形狀，下面是杯柄可以放置，如圖（丙）所示。從上面倒入水溶液，AB=AC=AD，水平面到底端頂點A的垂直距離為高h。本工具可以通用。

4.底面積為1×1的直柱杯（丁），也叫管杯：盛水空間是截面積為1×1的正方形，高度為h的正方形柱體杯，下面有杯柄可以垂直放置。里面倒入水溶液，水溶液的體積等于1×1×h（高度）=h。本工具可以通用。

5.周長直徑杯：如圖（戊）所示形狀。盛水空間是厚度為1的等腰三角形柱體形狀，也就是v字形杯。底端是杯柄，可以放置。從上面倒入水溶液，AB=AC，BC代表圓直徑R，BC到A點的高h代表圓周長。這是根據圓周長÷圓直徑=π的原理制造的容器量具。倒入水溶液后，水溶液體積為BC×h（高）×（1/2）×1（厚度）=BC×h×（1/2）。本工具可以通用。

三、利用容器量具解決幾何尺規作圖問題

1.化圓為方：先畫出任意圓，再畫出一正方形，使正方形面積等于任意圓面積。

做法：先畫任意圓，直徑為R，半徑為r。制造一個直徑為R的半圓杯（甲），倒滿水。杯中水溶液的體積為（R/2）2×π×（1/2）×1（厚度）=r2×π×（1/2）。將半圓杯中的水倒入直角杯（乙）中，直角杯中的水溶液體積為AB×AC×（1/2）×1（厚度）=AB2×（1/2）。又因為r2×π×（1/2）=AB2×（1/2），所以，r2×π=AB2，∴以AB為邊長畫正方形，其面積與直徑為R的任意圓面積相等。

2.倍立方：先畫一個正方體，體積為V1，再畫一個正方體，體積為V2 ，并且使V2=2V1。

做法：取兩個正直三棱錐杯（丙）（1）和（2），先畫任意一個正方體，邊長為a，首先向其中一個正直三棱錐杯（1）中倒水，當AB=AC=AD=a時為止，此時杯中水溶液體積為Vm，之后將杯（1）中水溶液倒入另一個正直三棱錐杯（2）中，然后再重復做一次，則正直三棱錐杯（2）中的水溶液體積為2Vm，此時正直三棱錐杯（2）中的水溶液水平面與杯棱邊交點B`、C`、D`到底頂點A`的長度為b，以b為邊長畫正方體，其體積為V2，V2=2a3=2V1。

3.分立方：是倍立方問題的另一種形式。即先畫一正方體體積為V1，再畫一個正方體，體積為V2， V2/ V1=1/n。這個問題不難，可以參照上面的倍立方畫法解決。

4.畫π1/2=？、π=？、π2=？，A1/3=？、A=？、A3=？，A1/2=？、A=？、A2=？等等。可以參照上面的化圓為方和倍立方畫法解決。

5.畫方為圓：先畫任意正方形，再畫一個圓，使圓面積等于正方形面積。這是化圓為方的反形式。

做法：先畫任意正方形，邊長為a，向直角杯（乙）中倒水，當AB=AC= a時為止，此時直角杯中水溶液體積為AB×AC×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2）。然后將此水溶液倒入周長直徑杯（戊）中，則周長直徑杯中的水溶液體積為BC（直徑）×h（高或周長）×（1/2）×1（厚度）=a2×（1/2），所以，BC×h=a2，再以BC為半徑畫圓，當厚度為1時，又因為π= h（周長）÷BC（直徑），所以，體積為（BC） 2×π×1=（BC） 2×（h÷BC）=BC×h= a2，所以，以BC為半徑畫圓的圓面積等于已知任意正方形面積。

四、其它相關問題

其它相關問題都可以參照本法原理去解決。

以上幾何作圖法看上去很麻煩，但這只能這樣去解決，可能還有其它方法，今后去探索之。