概率論與數理統計教學方法的研究

余國勝 危合文 劉軍 姚春臨

摘 要：概率論與數理統計是工科類本科生的公共必修基礎課，具有理論與應用并重的特點。文章結合自己的工作實踐，探討了概率論與數理統計的教學方法，進而提供了一種培養學生的創新思維和獨立思考能力的有效途徑。

關鍵詞：概率論與數理統計；思想方法；教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）08-0059-02

Abstract： The probability theory and mathematical statistics is a basic compulsory course for undergraduates majored in science and engineering. It has the characteristics of emphasizing on theory and application. Combined with the author's working practice， this paper discusses some teaching methods about probability theory and mathematical statistics and provides effective ways to cultivate students' creative thinking and independent thinking ability.

Keywords： probability theory and mathematical statistics； thinking methods； teaching

引言

講授概率論與數理統計已經十一年了，對這門課程有了深入的了解，把握知識的重難點，教學效果好。但是也存在一些問題，有些學生學習態度不端正，上課注意力不集中，還有一些學生高等數學，線性代數學得不夠好，因此學習概率論與數理統計有困難，此外學生的學習水平參差不齊，有的學生接受能力比較強，有的學生接受能力比較弱，這都給教學帶來一定的難度。目前，我校采用的是學分制。由于學時的限制，教師不得不趕進度，講授完教學大綱規定的內容，根本沒有時間講解實例和章節彼此間的聯系，不能有效編織科學有效的知識網，造成學習知識不夠系統。在課堂教學中，學生參與進來的積極性不高，往往是被動接受知識，沒有有效調動學生學習的自主性及創造性。考核方式是平時成績+期末卷面成績，平時成績占30%，期末卷面成績占70%。平時成績一般由考勤，作業，問答三方面構成，平時成績對綜合成績影響不大，沒法全面考核學生。此外，期末考試試卷只是考察學生知識點掌握的情況，一般傾向于考察學生的邏輯思維、抽象思維與計算演算能力，而忽視了實際開拓創新能力的培養，導致難以達到人才培養方案對人才知識結構和能力的要求。

隨著教育科學的不斷發展，有關其他領域的新的教學理念也在改造后被廣泛移植，應用到概率論與數理統計的教學中。數學思想方法是數學的靈魂所在，是聯系數學各類知識的橋梁，是數學學科賴以建立和發展的重要因素。因為只有掌握了數學思想方法才能抓住數學的靈魂，掌握數學的“通性”、“通法”，才能從整體上，本質上認識數學，避免學生“囫圇吞棗”、死記硬背，從而優化思維品質，提高數學能力。之所以強調概率論與數理統計的思想方法及其教學，是針對過去我們片面強調基礎知識教學，簡單地拋出結論性的東西，滿堂灌而言的。盡管概率論與數理統計的思想方法具體體現于基礎知識中，但兩者不能相互替代。因此，結合教學內容，對學生進行概率論與數理統計思想方法的滲透，并將這項工作貫穿于整個概率論與數理統計教學過程中是十分必要的。

一、通過小結，提煉出概率論與數理統計思想方法

學習完一章，就要對知識要點進行“小結”，小結起著提綱挈領的作用，能使學生理解概念的現實背景和含義，能使學生明確要點。例如在第一章結束以后，可小結一下處理有關擲硬幣問題的思想方法。將一枚硬幣連擲三次，求下列事件的概率：（1）三次都是正面；（2）一次正面，兩次反面；（3）至少一次正面。分析：如果用H表示正面，T表示反面，則連擲三次的可能結果是：

{HHH，HHT，HTH，THH，TTH，THT，HTT，TTT}。

且由對稱性易知，每個基本事件發生的可能性相等，因此可用古典概率計算概率。于是

這種思維方法可概括為“表示問題、分解問題、轉化問題”，它是處理更一般問題時常用的方法，由此可見，通過小結可以使學生做到舉一反三。此外可以進一步推廣到n重伯努利試驗的情形，可以得到一系列有用的結果。當n很大時，相關的概率計算起來很困難。學了泊松分布以后，二項分布的泊松近似，即泊松定理，就很好地解決了這個問題。將相應知識串聯起來，織成網，學生學習知識更加系統，學習興趣就會大大提高。

二、善于結合身邊的實例進行教學

全概率公式與貝葉斯公式是概率論中的一個重要公式，它能把復雜的概率計算化繁為簡。如果教師照本宣科，脫離實際應用，學生要真正理解和掌握其精髓是困難的。教師在講授貝葉斯公式時，可以設計這樣的一個游戲案例：假設袋中裝有 m枚正品硬幣，n枚次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽），在袋中任取一枚，將它投擲？酌次，已知每次都是國徽，問這枚硬幣是正品的概率？這是一個有趣的問題。若設在袋中任取一枚正品為事件A，任取一枚次品為事件A，B為事件拋？酌次為國徽，即求條件概率P（A|B）由條件概率的定義和全概率公式可以得到

對于固定的m，n，？酌越大，這個條件概率越小，當？酌→∞ 時，由實際推斷原理，可以斷言從袋中取出的是次品，這與實際是相符的。

日常生活中，人們出行時經常乘坐公交車，公交車的車門高度設計與人的身高是有關系的。如果太矮，乘客就容易撞到頭。如果太高，既不經濟也不安全。自然而然的一個問題是：如何設計車門的高度比較合理？根據概率統計的常識，人的身高 服從正態分布（汽車設計手冊中也是這樣指出的），即X～N（？滋，？滓2）。小孩的身高比較矮，可以不考慮。成年女子的身高一般也比同齡的男子矮，因此在設計公交車的車門高度時，我們重點考慮成年男性。由各國統計資料，可得各國各民族成年男子身高的？滋和？滓2值。例如對于中國人，？滋=1.75，？滓=0.05（當然根據時間的不同，統計數據也可能有所不同，此處僅以此數據為例），現要求上下車時要低頭的成年男子不超過0.1%車門需要多高呢？設車門高度為h，X為中國成年男子的身高，則 X～N（1.75，0.052）則成年男子乘車需要低頭的概率為

三、引入多媒體、統計軟件教學，完善課程的考核評價體系

傳統的教學模式是“一支粉筆，一塊黑板，教師滿堂灌”。 教學手段相對單一，教學信息量相對有限，教學效果難以保證。借助于現代化多媒體技術，利用成熟的統計軟件，可以大大節省教學 時間，豐富教學內容。利用統計軟件幫助學生解決單調、繁瑣的計算，增強學生學習的主動性。 例如在講授最大似然估計時，單調、枯燥的“填鴨式”教學往往會使學生產生厭煩情緒。此時，在運用傳統教學方法的同時，運用多媒體以圖像、聲音和動畫舉個例子：一個農民和一個百步穿楊的獵人去打獵，看到一只兔子跑過，聽到砰的一聲槍響，兔子應聲倒地，問：這一槍最有可能是哪個人放的。通過設置情景，會讓抽象的理論更加具體，使枯燥的課堂生動起來。需要指出：對于只要求學生了解的內容、概念和圖表運用多媒體技術能節省時間，提高效率。對于需要證明的定理，還是傳統的課堂演板為宜。隨著計算機技術的迅猛發展，使得計算機技術在數理統計中有了用武之地，各種成熟的統計軟件破解了數據挖掘，數據分析工作中的難題，使學生得以擺脫單調，乏味的計算，大大提高了學習效率。

考核評價是教學過程中的重要環節，考試是實現教學目標的重要手段。制定科學完善的課程考核評價體系就顯得尤為重要。在批改學生作業的過程中，發現有些學生存在互相抄襲的現象，平時成績根本發揮不了太大作用。為此，有必要探索一種多樣化考核方式的方法。現在由于高校擴招，公共課一般都是大班授課，利用微信點名，可以節省時間，提高效率。通過網絡在線課程批改作業，可以有針對性地對學生進行輔導。在期末試卷閱卷過程中，發現學生為了應付考試，存在死記硬背，突擊復習的現象。提出期末試題中，除了傳統的選擇題、填空題、計算題外，加入開放性的考題很有必要。

四、實施分層次教學模式

我校一般在大二開設概率論與數理統計課程。學生一般可以分為兩類：考研和拿學分的。針對考研學生，在講授知識時，要提高深度，啟迪他們的思維，拓展他們的能力，解決“吃不飽”的問題。針對拿學分的學生，教師要按照大綱要求不折不扣地安排教學內容，達到培養目標的要求。根據學生的實際情況，教師可以有的放矢的實施分層次教學，對考研的學生作業量要大一點，難一點。除了要幫助學生掌握概率論與數理統計的基本思想方法外，可把更多的理論知識教給學生自學，教師只須對此進行有針對性的輔導。對基礎不好的學生采取幫扶，讓他們端正學習態度，迎頭趕上，使教學收到實效。可以嘗試讓學生上講臺，讓他們去講，老師在下面聽，可以不時地提問，使學生得到鍛煉，提高他們的學習興趣。此外，鼓勵學生提出有價值的問題，給予加分的獎勵，要重視“靈感”，有價值的問題不可能從天而降，要引導學生看一些參考書，第一次課就把這些書推薦給大家，創造條件培養他們發現問題的能力。有時學生提出的問題很膚淺，這個時候需要鼓勵，切忌抹殺了他們提問題的熱情。研討課上，利用自己知識面相對比較廣的優勢，歡迎大家提問題，盡其所能地一一作答，真正做到教學相長。讓學生知無不言，暢所欲言，形成良好的學習氛圍。

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