非線性動力學教學中的混沌系統推廣與仿真

賈強 孫梅

摘 要：以非線性動力學中典型的洛侖茲系統與埃農映射為例，通過引入各類不同的非線性，構造出更多有趣的混沌系統。利用基于MATLAB的數值仿真，進一步驗證了本方法的有效性。該方法寓教于樂，有助于提升學生學習本課程的興趣，同時為混沌應用提供更多的混沌模型。

關鍵詞：混沌；MATLAB；洛侖茲系統；埃農映射；仿真

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）23-0015-03

Abstract： Taking two chaotic prototypes in nonlinear dynamics， the Lorenz system and Hénon map， as examples， this work constructs diverse interesting chaotic models by introducing different nonlinearity functions. The numerical simulations based on MATLAB software further demonstrate the validity of our proposed techniques. It is conducive to the enhancement of the students' interest and presents more chaotic models for the application of chaos as well.

Keywords： Chaos； MATLAB； Lorenz system； Henon map； simulation

非線性動力學是一門面向高年級本科生和研究生的重要課程，在數學、物理、經濟學、工程等多個學科的建模與分析中具有重要應用。大多數非線性動力學教材中，混沌的數學概念抽象而復雜，大多工科專業的學生難以理解。即便是數學專業的學生，要理解混沌的真正定義也并非易事。因而，在實際應用中用數學方法判斷是否存在混沌現象非常困難。

隨著數值算法的發展，基于軟件的數值仿真為判斷混沌提供了有力工具，同時為研究非線性模型并探究混沌現象提供了極大方便[1]。本文將枯燥的數學課程與計算機仿真相結合，寓教于樂，使學生真正參與課堂教學。著名非線性科學學者陳關榮教授曾撰文指出，若一個非線性系統的解有界，但不收斂也不發散，則該系統為混沌系統[2]。這意味著混沌系統一定具有混沌吸引子，其解為相空間中既不收斂到某點也不趨于無窮的雜亂曲線。依據這一特點，本文從非線性動力學常見的混沌模型出發，通過對不同非線性因素進行建模，引入非線性函數，構建新的混沌系統；同時利用軟件MATLAB對新系統進行仿真，驗證其混沌行為。通過設計課堂教學，提升學生動手能力，提升學生的學習興趣與分析問題的能力；同時還提出更多新穎的混沌系統，為研究混沌理論及混沌應用提供更多的數學模型。

盡管已有不少關于混沌系統仿真的論文[3]，但通常只考慮經典的連續混沌系統，如洛侖茲系統[2]等，這些系統多為多項式函數，仿真也較簡單。但很多實際工程問題可能包含更復雜的非線性，如時變參數、狀態延遲或分段線性等。這些常見混沌系統卻不能刻畫這些復雜情形。一個有意義的問題是，這些非線性因素會對已有模型的動力學產生何種影響，而現有研究對該問題的關注卻非常少。

本文將對該問題展開分析，對實際問題中不同的非線性因素進行建模，并將這些非線性引入常見混沌系統，利用MATLAB軟件對所得新系統進行數值仿真。研究表明，所得新系統仍可能具有混沌行為。因此本文所提出的思想與新模型都值得關注。

一、實例（一）時變洛侖茲系統

洛侖茲系統是美國氣象學家洛侖茲教授于十九世紀六十年代建立的大氣對流模型，可用如下微分方程組表示

其中a，b，c，d為參數。給定某些參數，如a=10，c=28，b=■，d=1，該系統具有混沌解，意指其數值解在相空間為一個蝴蝶形狀的吸引子，如文獻[3]所研究的情況。但在很多實際問題中，由于外界的干擾，系統的參數并非恒定不變的。時變參數更能刻畫系統的真實動力學。若假定原系統的參數d隨時間變化，令參數d為時變函數d（t）=1+3sin2（t），可得到一個新混沌系統。利用MATLAB中的ode45命令求解所得時變微分方程，得到系統具有圖1所示混沌吸引子。與原系統對比發現，新系統的解軌道更加復雜。事實上，引入時變參數可使得系統的維數由三變為，圖1中的三維圖形為時變洛侖茲系統的吸引子在三維空間的投影，因而更加復雜。

二、實例（二）含分段線性的時變洛侖茲系統

關于混沌的最新研究發現，混沌系統中的某些非線性項可利用分段線性函數進行替換，而由此得到的新系統仍具有原系統的混沌特性。文獻[4]表明，用分段線性函數替換一個四維超混沌系統中的某些交叉乘積項，所得的新系統的結構更加簡單，但其動力學依舊具有混沌行為。該方案對于簡化混沌電路的設計以及分析非線性系統的性質等問題具有重要價值。

下面將該方法應用于實例（一）中的時變洛侖茲系統中，用簡單的符號函數替換第三個方程中乘積項的變量y，得到如下含有分段線性函數的系統。

由于該系統的符號函數sgn（y）只取正號或負號，原時變洛侖茲系統第三個方程中的狀態乘積項簡化為線性項 +x或-x，而所得新系統仍處于混沌狀態。利用MATLAB進行仿真，用函數sign（y） 即可實現該分段線性函數，系統的混沌吸引子如圖2所示。由此可見，新系統仍具有混沌動力學。

三、實例（三）延遲洛侖茲系統

延遲現象廣泛存在于各類工程問題，在系統建模中不可忽略。本文考慮如下具有延遲效應的洛侖茲系統

現有研究已表明，當c=20，d=1，？子=0時，洛侖茲系統具有穩定的平衡點。在實際問題中，由于復雜環境的干擾或特意設計，系統中可能出現某個狀態的延遲。為了刻畫這一問題，建立上述含有延遲項的方程組，即第三個方程右邊的狀態x具有延遲，由此得到一個新的延遲系統。事實上，若系統沒有延遲，在前述參數下，系統具有穩定解，即從任意的初始條件出發，系統的解將收斂到某個穩定平衡點。新系統中由于存在狀態延遲，其解不再收斂到平衡點，而是表現為混沌吸引子。數值仿真表明存在很多延遲值，確保系統出現混沌行為。利用MATLAB中的dde23命令，求解上述具有常數延遲的微分方程組。上述延遲洛侖茲系統當？子=0.05時的混沌吸引子如圖3所示。根據泛函微分方程理論可知，該延遲系統為含時滯的泛函微分方程，實為一個無窮維動力系統，其動力學比原系統更加復雜。該例說明，在很多實際問題中，延遲現象對系統動力學的影響不可忽略，需要具體問題具體分析。

四、實例（四）含雙曲函數的洛侖茲系統

值得說明的是，除了符號函數外，其他很多復雜的函數如指數函數、三角函數、雙曲函數等都可用于構造混沌系統，而且這些函數都可用電子電路進行硬件實現。本例將雙曲正弦函數應用于洛侖茲系統，得到如下的新混沌系統。

由圖4可知，該系統的吸引子與以上各系統的吸引子具有不同的拓撲結構，但仍為混沌吸引子。

通過以上多個實例我們知道，洛侖茲系統在引入不同的非線性因素后，仍可能具有混沌現象。這表明對實際問題中的非線性因素進行建模，可能得出不同的混沌系統。雖然這些新系統與原系統在數學形式上有所不同，但都具備相同的混沌特性。

以上針對洛侖茲系統的討論與推廣有助于學生理解混沌系統的概念與性質，同時也引發他們對本門課程的強烈興趣。進一步研究表明，其他常見混沌系統也可進行類似的推廣，得到有趣的混沌模型。下面將對非線性動力學中的另一著名混沌系統——埃農映射進行討論。

五、實例（五）時變埃農映射

前面幾個實例考慮了連續時間系統，其解為相空間的連續雜亂曲線。本例考慮著名的二維離散混沌系統——埃農映射，其數學表達式為

其中a，b為參數。當a=1.4，b=0.3時，該映射具有月牙形的混沌吸引子。這里考慮用時變參數an=1.1+0.1sin（n）代換原參數a，得到一個新的埃農映射，其每步迭代中參數值與迭代次數有關。利用MATLAB中的for循環，易得該時變映射的混沌吸引子如圖5所示。可見新系統的吸引子與原系統的吸引子形狀類似，但其邊界更加模糊，表明由于時變參數的存在，系統的動力學行為更加復雜。

六、實例（六）分段線性的埃農映射

類似于例（二）的方法，我們考慮在埃農映射中引入不同的分段線性函數，如絕對值函數，進而得到如下的分段線性模型

該分段線性映射中不含高次項，形式更簡單。用MATLAB進行仿真，可得新映射系統在同樣參數下仍具有混沌吸引子。該吸引子與原系統的吸引子相比，在相空間占有較小的區域，卻沒有任何周期現象，如圖6所示。

本文的討論與推廣混沌系統的方法為非線性動力學課程的教學與研究提供了新思路，方便在課堂教學中加以利用，用于鼓勵學生自己動手建模，并利用數學軟件對混沌系統的性質進行分析。這無疑有助于激發學生學習非線性動力學課程的興趣，并培養他們分析非線性系統的能力；同時本文也給出多個新的混沌系統，為混沌的理論與應用提供了借鑒。

參考文獻：

[1]寧桂英，霍海峰.關于MATLAB軟件在線性代數教學中的應用探討[J].科教文匯，2015（313）：49-50.

[2]陳關榮，呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制與同步[M]. 北京：科學出版社，2003.

[3]吳衛華，等.Lorenz混沌系統的分析與電路實現[J].大學物理實驗，2014，27（2）：41-43.

[4]Li， C.， Sprott， J. C.， Thio， W. and Zhu H. [2014] A new piecewise linear hyperchaotic circuit，" IEEE Trans. Circuits and Syst.-II， Exp. Briefs， vol. 61， no. 2， pp. 977-981.