對課本例題的一點思考

白雪松

課本人教A版選修1-1第二章2.1橢圓這一節介紹了橢圓定義和簡單幾何性質等知識點，書中第34頁例2和例3兩道例題引起我如下的一點思考：

圓與橢圓是兩種封閉曲線，既有相似之處也有區別.

一、對稱性

圓是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，每一個直徑都是一條對稱軸；橢圓也既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，僅有兩條對稱軸.

二、兩種軌跡的關系

兩個圖形整體上看，橢圓像是圓被壓縮或是拉伸了接下來，通過例子去感受一下兩種軌跡的關系。

例1.如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？

分析：點P在圓上運動，點P的運動引起點M的運動。我們可以由點M為線段PD的中點得到點M與點P坐標之間的關系式，并由點P的坐標滿足圓的方程得到點M的坐標所滿足的方程。

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為，則x=，y=.因為點P在圓上，所以，把=x，=2y代入方程，得，即，所以，點M的軌跡是

橢圓。

變式1：如果點M不是中點，是線段PD的任意一個固定的分點或是線段DP延長線上任意一個固定分點M的軌跡是什么？

分析：點M與點P的橫坐標相同，縱坐標之間存在比例關系，通過代換容易得到點M的軌跡方程.

解：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為，則x=，y=.（k>0）因為點P在圓上，所以，把=x，=y代入方程 ，得即，所以點M的軌跡是一個橢圓.當01時，軌跡是短軸長為圓的直徑，焦點在y軸上的

橢圓。

從圖象伸縮變換的角度分析一下與之間的關系，圓上的每一個點橫坐標不變，縱坐標變為原來的k倍，就得橢圓的圖象.

變式2：變式一中圓的方程為，當k=時，則點M的軌跡是什么？

解析：利用換元思想只需把上述變式一中的4換成，k換成則有，即.

總結：由上述推導過程可以得出圓與橢圓的關系：圓上每一個點橫坐標不變，縱坐標為原來的倍得到橢圓.

三、兩者參數方程的關聯性.

圓的參數方程為（為參數），橢圓的參數方程為（為參數）當a=b=r時就是圓。

四、一些重要結論.

結論1：圓與x軸交于A、B兩點，C為圓上任一點，則.

解析：設點C坐標為由已知可得A（-a，0），B（a，0），因為點C在圓上，所以

已知橢圓與x軸交于A、B兩點

P為橢圓上任一點，則.

解析：設點P（）根據變式2圓與橢圓關系，點P由點C伸縮變換得到

則有：，點A（-a，0），B（a，0）

所以所以

例2、已知橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，點M為C上不同于A、B的任意一點，則直線MA、MB的斜率之積為

（ ）

A. B.-4 C. D.4

解法一：因為是選擇題所以可以采取特殊點法.因為一般情況下成立，那么特殊情況也會成立

結論2：圓O的弦AB，C為弦中點則。

橢圓的弦AB，C的弦中點

則.

解析：設

則

因為，所以

A、B看作是由A、B兩點變換來的所以，

所以=