從一道題說起

廣東省韶關(guān)市仁化縣教育局教研室 凌衛(wèi)文

從一道題說起

廣東省韶關(guān)市仁化縣教育局教研室 凌衛(wèi)文

在五年級第二單元數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測上出現(xiàn)了這樣一題：

在長方體的展開圖中，分別用“上”﹑“下”﹑“前”﹑“后”﹑“左”﹑“右”標(biāo)明6個(gè)面。

老師們出現(xiàn)了三種解答意見，第一種：直觀感知相鄰三個(gè)面的大小關(guān)系，結(jié)合展開圖解答為圖1；第二種：根據(jù)生活拍照經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為這個(gè)長方體的“上面”看似面積比“前面”小，實(shí)際面積有可能比“前面”大，并提供了兩張從不同位置拍攝同一長方體對象的照片作為例證（圖4），他們認(rèn)為正確答案應(yīng)為圖2；第三種：判斷依據(jù)與第一種相同，不同的是他們認(rèn)為這個(gè)展開圖是沿著某些棱剪開后由內(nèi)向外展開所得，答案應(yīng)該為圖3。正確的解答究竟是什么？要回答這個(gè)問題，需要弄明白以下兩個(gè)問題。

圖1

圖2

圖3

圖4

一、數(shù)學(xué)教材上的長方體直觀圖是用什么方式得到的

通常，人們會采用斜二側(cè)畫法畫長方體，就是從右上角往下看到的長方體的直觀圖的畫法，每個(gè)夾角應(yīng)是135°，90°及45°，看不見的部分用虛線表示。畫圖時(shí)，平行于x軸的線段（即長方體的長）仍平行于x′軸，長度不變；平行于y軸的線段（即長方體的寬）仍平行于有y′軸，但長度減半；z軸的線段（即長方體的高）的長度不變。為了便于小學(xué)生理解，數(shù)學(xué)教材中并沒有嚴(yán)格執(zhí)行“斜二側(cè)畫法”，在畫長方體的寬的時(shí)候，仍然基本采用等值表達(dá)（如下圖），也就是說，直觀感知圖形的各種度量關(guān)系與實(shí)際基本相符。

北師大版五年級下冊數(shù)學(xué)教材P16圖

人教版五年級數(shù)學(xué)下冊教材P36圖

拍照所得到的圖形與直觀圖不在一個(gè)范疇，前者屬于觀察范疇，后者是繪圖范疇，對圖形的表示﹑刻畫有著本質(zhì)的差別。當(dāng)觀察者在高低不同的觀察位置觀察同一對象時(shí)，對象在其視覺中對應(yīng)的范圍大小也會不同。圖4中右圖的觀察位置（或者說持機(jī)高度）顯然比左圖要高，因此長方體包裝紙的上面看到的范圍增大了許多，觀察者便形成了“看似小的未必小”的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。長方體直觀圖的畫法比較特殊，它既能使平面內(nèi)的空間圖形富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系。原幾何體中面積大的面，反映在直觀圖上面積也是大的；原幾何體中線段短的，反映在直觀圖中也是短的（小學(xué)階段更是如此）。線線﹑線面﹑面面之間的關(guān)系是確定的，不存在上述觀察范疇的現(xiàn)象。持第二種意見的教師把“直觀圖”與“照片”等同起來，從觀察的角度思考﹑解決作圖范疇的問題，這是一種錯(cuò)誤的認(rèn)知。

二、長方體展開時(shí)有無方向限制

長方體展開圖沿橫﹑豎方向展開時(shí)，一個(gè)方向必定由4個(gè)長方形組成，而另一個(gè)方向必須是3個(gè)長方形。題中長方體的展開圖顯然是豎方向展開圖。展開時(shí)由內(nèi)向外展（里面的面朝上），還是由外向內(nèi)展（外面的面朝上），是沒有限制的。剪的方法一樣，但展開方式不同，得到的展開圖也不相同。如沿著圖5有標(biāo)記的棱剪開題中的長方體，豎方向由內(nèi)向外展開，則得圖6（即圖3）；若由外向內(nèi)展開，則得圖7。比較兩圖，我們可以清楚地看到展開圖的形狀發(fā)生了變化，但展開圖中面面之間的位置關(guān)系沒有變化。如果沿著圖8中有標(biāo)記的棱剪開這個(gè)長方體，并由外向內(nèi)展開，則得到的是圖9（即圖1）。展開圖的形狀與圖6完全一樣，但展開圖前后面的位置卻發(fā)生了變化（不同的剪法和展開方式也有可能導(dǎo)致其他兩組相對的面的位置發(fā)生變化）。因此，圖1﹑圖3的解答都是正確的。

【反思與啟發(fā)】

1.教師應(yīng)努力提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

審視三種意見的理由，持第二種意見的教師明顯是學(xué)科專業(yè)素養(yǎng)的缺失。調(diào)研和測試表明，受學(xué)歷教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容局限性的影響，小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識的缺失主要集中在教材新增內(nèi)容上，如“統(tǒng)計(jì)與概率”﹑“投影與視圖”﹑“圖形變換”﹑“密鋪”﹑“莫比烏斯帶”﹑“立體圖形直觀圖的繪圖方法”等。大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師在自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中對這些內(nèi)容了解很少，甚至從來沒有涉足過，再加上學(xué)生對這些知識存在著許多錯(cuò)誤的認(rèn)識，這就會導(dǎo)致課堂教學(xué)中學(xué)生提出錯(cuò)誤認(rèn)識時(shí)，教師難以做出合理的解釋和對學(xué)生進(jìn)行合理的組織與引導(dǎo)。因此，教師必須加強(qiáng)對這些知識的繼續(xù)學(xué)習(xí)，不斷擴(kuò)展和更新自己的知識結(jié)構(gòu)。

2.借助操作活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

本題主要考查學(xué)生的空間想象能力，而培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的一個(gè)非常有效的方式是：學(xué)習(xí)和探究幾何體及其展開圖之間的相互轉(zhuǎn)化。因此，教師要重視本單元《展開與折疊》教材的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)操作，給學(xué)生提供充裕的動(dòng)手操作的時(shí)間，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“想象——操作驗(yàn)證——形成經(jīng)驗(yàn)”的過程。如先讓學(xué)生想象長（正）方體展開或折疊而成的樣子，再通過實(shí)際操作驗(yàn)證想象結(jié)果，形成思維的記憶，發(fā)現(xiàn)展開圖與長（正）方體的聯(lián)系，建立幾何體上的面與展開圖上的面的對應(yīng)關(guān)系，不斷積累“做的經(jīng)驗(yàn)”﹑“想象的經(jīng)驗(yàn)”﹑“歸納總結(jié)活動(dòng)結(jié)論的經(jīng)驗(yàn)”，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提高幾何思維水平。

3.試題命制要講究科學(xué)性

命制試題時(shí)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不能用有爭議的題目。五年級的學(xué)生，空間觀念尚在逐步建立階段。這道題的答案不是唯一的，對于剛學(xué)習(xí)立體圖形的學(xué)生來說開放度較大，學(xué)生要做出比較全面的思考，比較困難。建議在展開圖中給定一個(gè)面（如圖10），學(xué)生就能根據(jù)這個(gè)面在腦中快速展開立體圖形，從而得到正確的答案。

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