巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題

山東省鄒平縣黃山中學(256200) 安徽省利辛高級中學(341000)

韓景崗● 陳國林●

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巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題

山東省鄒平縣黃山中學(256200) 安徽省利辛高級中學(341000)

韓景崗● 陳國林●

圓錐曲線的定義是其基礎知識，解題時必須牢記于心，不可疏忽，很多題目都可以利用定義解答，關于定義的等式通常隱藏在圖形中，需要運用平面幾何知識才能發現.下面就利用圓錐曲線的定義求最值談一下個人拙見.

一、巧用橢圓的定義求最值

解析 |PM|+|PN|取最小值，則|PM|、|PN|都應該最小，|PM|+|PN|的最小值是|PA|-R+|PB|-R=6-2=4.同理，最大值為|PA|+|PB|+2R=8，即最小值和最大值分別為4,8.

二、巧用雙曲線定義求最值

解析 雙曲線的兩個焦點F1(-4,0)、F2(4,0)為兩個圓的圓心，半徑分別為r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

三、巧用用拋物線定義求最值

解析 由拋物線的定義，A到準線x=-1的距離等于A到焦點F的距離.

評注 第一步：將點A到y軸的距離為m轉化為A到準線的距離，再利用“拋物線上點到焦點的距離與到準線的距離相等”轉化為A到焦點的距離；第二步：利用“圓外一點A與圓C上的點的最小值等于|AC|-R”將目標轉化為|AF|+|AC|-R-1；第三步：利用“兩邊之和大于第三邊”討論三點共線時取最小值.由于拋物線的定義中隱含線段相等，最容易和平面幾何結合，所以拋物線中的性質特別多，利用定義解題最廣泛.

變式 已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為____.

總之圓錐曲線的定義應用廣泛而且巧妙簡單，在遇到圓錐曲線的題目時，我們應該首先考慮能否利用圓錐曲線的定義去處理，既能簡化運算又可以節約時間，從而快速達到目的.

G632

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1008-0333(2017)13-0020-01