短跑地水平運動是三或四維度運動①

董俊道

（哈爾濱理工大學應用科學學院 黑龍江哈爾濱 150080)

短跑地水平運動是三或四維度運動①

董俊道

（哈爾濱理工大學應用科學學院 黑龍江哈爾濱 150080)

至今運動生物力學仍用質點或剛體力學規律解析側面觀測地短跑運動,不能解釋短跑測試圖線中多個沖量值間存在公約數等現象。深究短跑測試圖線的特征,發現短跑的生物特性主要表現為彈性運動。于是短跑前支撐的平面運動可視為三維運動;后支撐的平面運動可視為四維運動。利用多維系統功能關系、沖量關系,給出短跑運動與彈性、復式蹬伸、自由剛體等模型相關的多種力學微元,分解復雜短跑運動,量化生物特性,突破目前用質點、剛體力學規律解析短跑運動的思維模式。初步找到揭示短跑運動力學規律的方法。

短跑力學模型 多維平面運動 多維系統的功能關系 復式蹬伸模型

多份文獻[1-4],特別是綜述文獻[4]表明,競技界側重研究與競技運動相關的生物力學,多涉及運動員的具體肌群、部位、姿態等,多進行定性分析,側重于實戰應用。

目前,參考大量外國文獻資料編寫的運動生物力學教材,都對人體的生物特性進行了較詳細地闡述。對短跑也進行了運動生物力學分析[5-7]。但都沒有指出人體生物特性對短跑運動的具體影響。

對短跑途中跑運動員整體的運動規律可用短跑測試圖線描述[8-9]。對短跑測試圖線反映的短跑運動規律,鮮見相關的深入研究。文獻[8]參考德國資料用質點法推算質心的加速度、位移;并試圖探討人體軟組織對運動的影響。文獻[10]分析短跑摩擦力測試圖線與速度圖線的關系時,發現運動員生物特性對短跑運動主要的影響方式,使短跑運動的生物特性得以量化,初步找到用力學方法解析短跑運動的路徑。

1 研究短跑的前提及短跑運動的一維二維解析方法

1.1 用一維空間觀解析短跑

短跑途中跑運動員通過一段水平風洞,其中同向的風與途中跑的平均速度相同。在風洞中水平地面上有測量水平摩擦力的測力板。由于可忽略風的阻力,實測水平摩擦力可視為運動員支撐階段受的水平合力。運動員剛著地時,其質心的水平速度為1υ(等于騰空速度),經過一小段Δt1運動員質心的水平速度2υ=1υ+a1Δt1。其中Δt1等于風洞側壁上高速度攝像機攝像頻率的倒數,質心的視加速度a1=f1測/m(m為運動員質量)。于是Δt1時段質心通過的位移Δx1=(1υ+2υ)Δt1/2。此推算將運動員視為質點。繪制短跑運動圖線常用此類方法[8]。測得這一小段的水平摩擦力f1測(合力),依動能定理有:

圖1 速度圖線摩擦力關聯分析圖

這是用一維空間觀研究短跑。不能揭示運動員轉動的規律及運動員平動與轉動的關系。

1.2 用二維時空觀解析短跑

參考大量中、外文獻編寫的各種生物力學教材,常將短跑運動員簡化為剛體,從側面觀測其水平運動[5-7]。文獻[8]用此作為指導思想推算。

短跑運動員著地后其腳部與地面間有足夠的摩擦力,運動員對地面的相對運動與競走一樣是無滑動的滾動[11],是復雜的運動。不考慮空氣阻力,X軸任意小段Δxi前作用于運動員的實測力為fi測。設此時運動員質心只受有效摩擦力fi有(合力)作用。前支撐階段任意微元Δxi前上fi有(與運動方向相反)使運動員平動動能減少,使其身體對左右軸轉動的動能增加。可認為fi有做的功將運動員的部分平動動能轉化為其轉動動能。以ΔEi平表示平動動能改變量,ΔEi轉表示轉動動能改變量,ΔWi=fi有Δxi前表示有效摩擦力做的功,ΔQi表示消耗運動員動能做功產生的熱量。這個過程有｜fi有Δxi前｜=｜ΔEi平｜=｜ΔEi轉｜=｜ΔWi｜=ΔQi。前支撐運動任一段微元質心的水平初速度為υi1,運動員對質心的轉動動能為Ei1轉;該段微元的末速度為υi2,運動員對質心的轉動動能為Ei2轉。有效力fi有做功過程對應的能量守恒關系為。由于 ΔQi=ΔWi有。式中 ΔEi轉=Ei2轉-Ei1轉。假設,再假設,得到兩個等價關系式:。求得。對前支撐任意小段Δxi前,實測水平摩擦力fi測(合力)功,有。顯然,質心受到的有效水平力fi有=fi測/2(3)。

任意一段微元對應一段勻變速直線滾動。相關解析用的是二維時空觀。這樣解析能揭示剛體平動、轉動、有效力功、實測力功等及它們之間的關系。

圖2 短跑測試圖線

2 進一步反省與思索

2.1 短跑運動實際與突出耗散力的觀點不吻合

曾經假設fi測=fi有+fi耗,突出了耗散力[12-13]。依此式忽略耗散力時有fi測=fi有,與式(3)矛盾。另外,短跑運動的實測圖線表明,前后支撐時段的摩擦力圖線有較大差異[9]。故描述短跑前后支撐運動的規律應有較大的差異。

2.2 令人思索的沖量值

文獻[9]涉及的短跑測試值：短跑前支撐水平摩擦力沖量值為51、短跑后支撐水平摩擦力沖量值為69、短跑橫向水平摩擦力沖量值為17；文獻[7]涉及的短跑測試值：短跑前支撐水平摩擦力沖量值為50、短跑后支撐水平摩擦力沖量值為69、短跑的橫向水平摩擦力沖量值為17。對比二者，說明數據可靠。測試數據中的17、51、69等有公約數不是偶然的，需要追思。

2.3 短跑支撐時段速度圖線反映運動員有彈性運動

對照分析圖1中水平摩擦力圖線與速度圖線，發現短跑運動支撐時段運動員存在完全彈性形變地跡象。速度圖線υ騰′A線段(即PA線段)對應的兩段速度圖線與線段PA圍的兩個月牙面積近似相等，表明運動員質心在速度圖線波動中兩段位移的波動值近似相等但符號相反。波動的原因是對應的實測摩擦力波動。文獻[10]對HQ段摩擦力圖線前后兩段實測力沖量的推算表明，速度圖線PV段月牙對應的沖量波動約為+13.7 kgm/s，速度圖線上VA處月牙對應的沖量波動約為-13.7 kgm/s。它們剛好與速度圖線月牙部分的凸、凹對應。推算結果表明運動員在前后兩小段時間里的彈性形變量近似與彈力的波動量成正比，致使運動中運動員產生與完全彈性形變對應的位移波動。

文獻[10]指出的后支撐時段速度曲線的兩個月牙(對應質心兩段位移的波動量)對應的摩擦力沖量波動量的推算，也表明運動員有近似完全彈性波動地現象。

2.4 多維度系統功能關系及沖量動量關系

前支撐任意小段位移Δxi前上實測水平合力fi測做的功數值上有式(2)所示的關系。這表明,合外力對二維度系統做功時,其對各維度做的功等值,在各維度引起的機械能改變量相同,且合外力做的功等于各維度機械能改變量值的和。這是二維度系統的功能關系。不難推得其對應的沖量—動量關系。

推論:式(2)對應的二維空間沖量動量關系為:

其中Δpi平、ΔLi轉表示動量增量、角動量增量;Ji1心、Ji2心、順次為Δti初、末時刻運動員對其質心的轉動慣量和轉動的角速度。式(4)為式(2)的推論。其物理意義:合外力對二維度系統的沖量在各維度導致的動量增量(含角動量增量)等值,且合外力沖量等于各維度動量增量值的和。此為二維度系統的沖量動量關系。

2.5 實測力的兩種平均力相等

式(2)中fi測可視為Δxi前上的平均力(合力)。式(4)中的fi測可視為對Δti的平均力(合力),在圖1速度圖線上任取一小段,可用其求得對應的平均加速度ai=(υi2-υi1)/Δti。還可用這一小段對應的位移量(即任意小段速度圖線與時間軸O—t包圍的小面積)求得對應的平均加速度。對同一小段顯然有

視為質點的速度圖線上一小段速度圖線對應一小段勻變速直線運動。于是速度圖線上任意小段,實測力對時間的平均值等于實測力對位移的平均值。牛頓力學中質點的運動都可用速度曲線描述。故牛頓力學中對同一質點而言,其所受合力對時間的平均值總等于其合力對位移的平均值。因為力是物體間相互作用的量化模型,而物體間相互作用是客觀存在的。

2.6 質心受的力與整體受的力常不相等

例如:水平氣墊導軌上有兩個完全相同的剛性滑塊,在滑塊一端施力f使二者以同一加速度運動時,二者整體受的力為f,但實測二者質心處受的力卻為f/2。這時可視為f均分。視運動員為自由剛體從側面觀測其平面運動,其整體受的實測力也可視為在二維度上均分。

3 以X為主軸XOY平面短跑的三四維運動及相關的力學微元

運動員質心X軸的運動和運動員繞垂直XOY面轉軸的轉動稱為以X為主軸的XOY平面的平面運動。受能量按自由度(維度)均分定理啟發,將二維度系統功能關系及其沖量動量關系推廣至短跑的三、四維運動。下列推導涉及的各增量均取其絕對值。專門說明之處例外。因不知短跑測試圖線的函數關系,著重分析其任意小段的運動及相關的力學微元。

3.1 有彈性形變的前支撐階段運動員質心的位移

3.2 水平方向短跑前支撐的運動維度及相關的力學微元

前支撐階段(摩擦力向后)運動員做順勢運動[10],可認為運動員為X軸向彈簧與自由剛體組合的復合模型。這時水平方向XOY平面的短跑運動有三個維度:X軸向彈簧對應的振動維度、受力剛體X軸向的平動維度、繞左右軸的轉動維度。對以X為主軸的短跑多維度平面運動,外力在XOY平面之X軸向的投影為fi前測,它在任意小段水平位移上做的功導致三個維度機械能的變化,依多維度系統功能關系有

合力對多維度系統做功時,多維度系統每個維度的機械能增量相同。短跑前支撐階段任意小段,運動員靠消耗運動員的水平動能做的功等于。三維度情況下各維度的機械能增量都等于其1/3,為。故彈性振動維度機械能增量其中ki前彈為對應小段的彈性系數。剛體平動維度機械能增量。轉動維度機械能增量其中還可寫成。該式表明,運動員任意瞬間的轉動慣量等于其質量與對應時刻滾動半徑平方的積。

(1)每個維度對應的“動量”改變量值相同(多維度沖量動量關系)。對前支撐任意小段有:

Δti前測為前支撐任意小段用時,代表前支撐時段彈性運動維度動量增量,由知,,故此處的fi前測/3可視為實測力在彈性維度對時間的平均力為代表Δti前測時段剛體平動維度運動員質心水平動量的有效增量,對應的分力對Δti前測的平均值為fi前平;前支撐任意小段轉動維度運動員對其質心轉動動量矩(角動量)的增量為,其對應的等效分力對Δti前測的平均值為fi等效。依式(12)有,各分力都等于fi前測/3。

(2)令式(8)、(9)、(10)中的fi測/3順次表示為fi前彈、fi前有、,由式(7)得fi前測=fi前彈+fi前有+fi等效。類似地推導可說明等號右側的各分力是fi前測在各子模型中對位移的平均分力,它們與前面提出的各分力對應相等。首先是彈性維度的力學微元量化了生物特性,并導致實測力重新分配,故對應的機械能增量、動量增量、沖量和各段位移增量等也量化了短跑運動地生物特性。

(5)前支撐時段的彈性及順勢性[10]反映運動員的生物特性。從圖2標注的沖量數看,實測實例中每個維度涉及的沖量值約17 kgm/s。即:

使得實測的前支撐時段總沖量為51 kgm/s。

(6)前支撐時段順時針[9]摩擦力矩的持續作用,使前支撐時段末運動員轉動的角沖量達到最大值,其對應的角速度為ωt2,對應的轉動半徑為rt2。

3.3 短跑后支撐階段的運動為四維度運動

短跑后支撐階段運動員蹬伸時,仍存在彈性運動維度。運動員蹬伸時還有繞踝關節的轉動,從而增加了后支撐運動的維度。蹬伸時相關結構使身體與腳部同時產生方向相反的轉動。以復式蹬伸模型稱乎這種結構。蹬伸中復式蹬伸的效果是直接增加了平動動能。運動員的蹬伸還使作為剛體的運動員在平動維度、繞質心轉動維度的運動狀態發生變化,所以后支撐階段運動員的運動是四維度運動。

3.4 短跑后支撐階段的多維度系統功能關系及沖量動量關系

后支撐階段任意小段實測力fn后測做的功用于四個方面:一使彈性維度的彈性機械能改變。二是復式蹬伸使身體得到的機械能增量為。三是通過蹬伸改變剛體平動維度里平動動能。四使剛體轉動維度里繞質心轉動的動能變化(負增量)。運動員做的機械功使四個運動維度的機械能同步等量變化。對多維度系統任意一段運動微元有:

穩定短跑中,令前、后支撐階段運動員水平視速度的總改變量等值,即后支撐階段運動員蹬伸實測力fn后測對運動員水平方向做的總功數值上等于前支撐階段實測力fi前測做的總功(前支撐初速度1υ(等于騰空時水平速度),末速度2υ=Aυ;2υ為后支撐的初視速度,后支撐的末視速度也等于1υ)。于是

于是后支撐四維度運動的式(15)右側每一項的值是其1/4,為。于是

ωn1為該段運動微元運動員對應的初角速度。Jn1為該角速度對應的相對運動員質心的轉動慣量等。式(20)還可寫成

可見,后支撐階段任意時刻,運動員質心至地面距離的平方與其質量的積等于該時刻運動員的對其質心轉動慣量。

(3)后支撐時段的彈性運動、運動員的蹬伸等,反映運動員的生物特性。從圖2標注的對應沖量數看,實測例中每個維度涉及的總沖量值約17 kgm/s。即。使后支撐時段總沖量值為69 kgm/s。

其表示后支撐的任意小時段實測加速度為彈性維度對應的質心加速度、質心在復合蹬伸維度的水平加速度與質心在平動維度的有效平動加速度、質心在轉動維度里對支點的切向加速度的水平分量四者合成的加速度。進一步可推知后支撐任意小時段速度圖線對應的實測速度增量也為四方面合成。

(6)后支撐速度圖線相關解析應用四維積分運算。但不知道其函數關系。在知道曲線對應的微元關系后,可用累加法分段解析[10]。

3.5 延伸思考

（1)時間軸是均勻的,可直接用速度圖線前后支撐對應的長度求出前后支撐用時的比值,即(t2-0)/(t支-t2)的值。為此可將圖1放大,當前支撐時段對應的長度為52.0 mm時,速度圖線對應的總長為121.3 mm。得(t2-0)/(t支-t2)=52/(121.3-52)=0.75=3/4(25)。結論相當精確,進一步表明前后支撐運動的維度為三維與四維。

(3)之所以將后支撐時段對應的沖量值改寫成68,因為一部分沖量延續至蹬離后。速度圖線最后一小段的傾斜表明這一點。蹬離后腳部的回彈也說明這一點。

(4)運動員于A點處的水平摩擦力為零表明,此刻(t2時刻)質心的水平速度υA等于線速度rt2ωt2的水平分量(與質心處的速度等大反向),使得支撐腳相對地面的運動趨勢為零。利用這一特征可對此點相關的參量進行準確地推算及檢驗。利用測得的質心的速度Aυ,用式(11)反推角速度,再與實測的角速度比較,可說明用多維度觀點解析是否正確。

(5)式(11)式(21)表明,可將側面觀測的短跑運動員視為均質圓盤模型。運動員任意瞬間轉動慣量的推算值與實測轉動慣量比較,可檢驗這一模型。

(6)運動員生物特性的主要表現,為其身體的彈性運動。運動員X軸向位移的彈性變化,是其各節段的扭動、切變、伸縮等彈性形變的總體表現。

(7)多維度系統涉及的各種因素密不可分,同時并存。

(8)可設計各種多維度機械運動系統進一步檢驗多維度系統功能關系。

(9)實測實例表明,前支撐階段每個維度對應的沖量增量值為總沖量的1/3。由實測蹬伸橫向分力對應的沖量為17 kgm/s推知,蹬伸的豎直分力的沖量也有17 kgm/s的沖量包含其中。

(10)綜合上述的解析看,解析物體復雜運動的步驟:一應測試物體質心在某軸向的運動,然后對其運用質點的動能定理;二應分析物體平面運動的維度,對其運用多維系統功能關系或多維度沖量動量關系。

4 研究結論

該文探究的短跑運動,為跑臺測試時從側面觀測地穩定短跑途中跑運動。同樣可忽視空氣阻力。但運動速度為相對皮帶的速度。依相對性原理,二者對應的力學規律相同。

(1)物體間相互作用是客觀存在。物體間相互作用的形式多種多樣。力不過是某些相互作用的量化模型,與其他形式量化模型可進行等價變換。短跑運動的測試力是復合力。其不同成份對應不同的力學規律。途中跑運動員受的水平合力及其分力對位移的平均值等于它們對時間的平均值。

(2)合外力對多維度系統做功時,其在各維度導致的機械能改變量相同,合外力做的功等于各維度機械能改變量值的和。此為多維度系統的功能關系。由此推知,多維度系統的合外力沖量等于各維度合力沖量值的和,或等于各維度動量改變量值的和。該規律為多維度系統的沖量動量關系。不同運動維度沒有優劣之分。

(3)側面觀測地短跑前支撐平面運動為三維運動,其對應的物理模型為彈簧與剛體的復合模型。側面觀測地短跑后支撐平面運動為四維運動。 其對應的物理模型為彈簧、復式蹬伸模型、剛體模型的復合。蹬離后運動員質心做二維的拋體運動。

(4)運動員運動中生物特性的主要表現為彈性運動。運動中彈性的整體表現可量化。人體既然有彈性,必然表現在各種運動中。

(5)用多維度系統功能關系及其推論推得短跑運動的多種力學微元,不但量化了人體運動中的生物特性,還構建了它們之間的聯系,使正確解析短跑測試圖線及短跑運動成為可能。

(6)初釋跑臺實測途中跑的多個沖量值間有公約數的現象。

(7)利用水平摩擦力為零瞬間支撐腳相對地面的運動趨勢為零的現象,可初步檢驗多維度系統法解析的正確性。

(8)人體(生物體)運動的最簡單形式是彈性振動與自由剛體運動復合地形式。

(9)減少運動維度是提高其中剛體運動效率的最有效措施。

(10)既然生物體運動涉及彈性振動,那么認識相關運動的頻率響應規律就十分必要,便于對運動員把握時機進行更具體地指導。

每個初步結論都應通過實驗檢驗。各維度的微元表達式等也待深究。文獻[9],其對應的情況沒有外界干擾,才有上述的分析與推導;明確短跑運動是多維度運動,才能正確解析;剖析復雜運動地力學微元才可能實施解析。

用三、四維度運動描述短跑支撐階段的平面運動,量化了運動中的生物特性,詮釋了測試實例中各沖量數有公約數的現象,反映出前后支撐運動規律的差異,說明相關的系列模型、方法有其合理性,值得進一步探究。

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Observations From the Side to Sprint Movement is the Movement of three, Four Dimensions Movement

Dong Jundao
(Science and engineering university applied sciences college in Harbin, Harbin Heilongjiang, 150080, China)

Sports biomechanics still use particle or a rigid body mechanics law analytical side observation to sprint movement, can not explain sprint test figure line more impulse phenomenon such as common divisor between values.Dig into the characteristics of the sprint test line, found the creatures of the sprint main features mainly for elastic movement.Then sprint front support planar motion can be considered as three dimensional motion; Support after the plane of the sport can be considered as four dimensional motion.Use of multidimensional system function relations, the relationship between impulse, give a sprint movement and elastic, double stretching, free rigid body model related to a variety of mechanical micro yuan, decompose complex sprint movement, quantitative biology, breakthrough with law of particles and rigid body mechanics analysis current sprint movement mode of thinking.Find a way to reveal sprint movement law of mechanics.

Sprint mechanics model; Multidimensional planar motion; The function of the multidimensional system relationship; Double stretching in model

G80

A

2095-2813(2017)04(b)-0228-06

10.16655/j.cnki.2095-2813.2017.11.228

董俊道(1937,9—)，男，漢，遼寧遼中人,本科,副教授,研究方向:走與跑地基本力學規律。