函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

劉彥姍

【摘 要】函數(shù)對(duì)于數(shù)學(xué)體系來(lái)說(shuō)就像一把鑰匙，能夠幫助我們打開很多其他問題的大門，函數(shù)簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是一種特殊的映射，是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過對(duì)函數(shù)的介紹了解到函數(shù)的大致分類，并對(duì)其應(yīng)用做了簡(jiǎn)單的舉例說(shuō)明。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；分類；應(yīng)用

前言

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中構(gòu)建起函數(shù)思想非常重要，函數(shù)就是一種工具，通過一些轉(zhuǎn)換關(guān)系可以把很多問題都用函數(shù)關(guān)系表示，使得問題簡(jiǎn)單化，從而得到解決。善于運(yùn)用函數(shù)思想能夠拓寬解題的思路，幫助我們分析問題，更好的去解決問題。所以要學(xué)會(huì)用函數(shù)思想去思考數(shù)學(xué)問題。

1.函數(shù)的概述

1.1什么是函數(shù)及函數(shù)思想

函數(shù)從其本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系建立在輸入值與輸出值之間。從集合的角度來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)集合里的每一項(xiàng)都能從另一個(gè)集合里找到唯一的與之對(duì)應(yīng)項(xiàng)，即兩個(gè)非空數(shù)集上的單值對(duì)應(yīng)，這就體現(xiàn)出了函數(shù)的一種特性，一一對(duì)應(yīng)，如圖1-1所示。函數(shù)輸入值所在的集合叫做這個(gè)函數(shù)的定義域（圖1-1中 A），輸出值的集合叫做這個(gè)函數(shù)的值域（圖1-1中 B）。通常函數(shù)用f（x）表示。

A 圖 1-1 B

在我們的數(shù)學(xué)教材上是這樣定義函數(shù)的，設(shè)x，y是兩個(gè)變量，當(dāng)x在某個(gè)數(shù)集D內(nèi)取任意一個(gè)定值，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，y都有唯一的值與x對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是變量x的函數(shù)。我們通常將y是x的函數(shù)記作：y=f（x），x∈D。這樣就體現(xiàn)出了構(gòu)成函數(shù)的三要素，定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則。

在了解什么是函數(shù)之后，我們來(lái)討論一下函數(shù)思想，函數(shù)思想就是一種數(shù)學(xué)思想，它是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，利用這樣的思想我們能夠分析和解決許多數(shù)學(xué)中常見的問題。首先要構(gòu)建起相應(yīng)的函數(shù)模型，找到它們一一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，去分析、解決問題。所以說(shuō)，函數(shù)思想在很多時(shí)候都能簡(jiǎn)化我們所遇到的數(shù)學(xué)問題，我們要學(xué)會(huì)綜合利用函數(shù)思想解答問題。

1.2常見的函數(shù)分類及性質(zhì)

在解題過程中有很多函數(shù)是我們常見的函數(shù)，包括反函數(shù)，隱函數(shù)，多元函數(shù)，二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)。

在解題中我們經(jīng)常會(huì)用到函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的有界性、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的凹凸性。

2.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

2.1利用函數(shù)圖像解決問題

常用的函數(shù)圖像變換有：平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換。

舉例說(shuō)明：若f（x）的圖象過（0，1）點(diǎn)，則f-1（x）的圖象過____點(diǎn)，f（x+1）的圖象過____點(diǎn)，f-1（x+1）的圖象過____點(diǎn)。

分析：由于f（x）的圖象與f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以f-1（x）的圖象過（1，0）點(diǎn)。

f（x+1）的圖象是由f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到，而f（x）的圖象過（0，1）點(diǎn)，所以f（x+1）的圖象過（-1，1）點(diǎn)。f-1（x+1）的圖象是由f-1（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到，而f-1（x）的圖象過（1，0）點(diǎn)，所以f-1（x+1）圖象過（0，0）點(diǎn)。

這道題就是通過平移變換的方法快速找到答案。

2.2利用函數(shù)解決數(shù)列問題

首先對(duì)于什么是數(shù)列做一個(gè)大概的介紹，數(shù)列就是按一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是由項(xiàng)構(gòu)成的，項(xiàng)就是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)。在一個(gè)數(shù)列中，排在第一位的叫做數(shù)列的第一項(xiàng)，以此類推，排在第n位的叫這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。在解決數(shù)列的相關(guān)問題時(shí)候，我們常常采用函數(shù)而思維方法，對(duì)數(shù)列進(jìn)行分析。

2.3利用函數(shù)解決解析幾何的問題

解析幾何就是曲線關(guān)系，曲線方程中有兩個(gè)相關(guān)變量x和y，所以可以構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系，是問題變得簡(jiǎn)單。

舉例說(shuō)明：過曲線M的右焦點(diǎn)F作直線l，交M于A、B，求AB的最值

所以，函數(shù)思想是解決解析幾何問題最快速最有效的方法，而且能夠保證較高的正確率。

2.4應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)求解含參方程

舉例說(shuō)明：已知P是圓x+y=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A（2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)P繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900到達(dá)R點(diǎn)，問當(dāng)P點(diǎn)在圓上哪個(gè)位置時(shí)，線段QR的長(zhǎng)度的最大值與最小值各是多少？

解析：設(shè)圓x2+y2=1的參數(shù)方程為：x=cosθ（O≤θ≤2π）y=sinθ各點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)如圖所示則RQ2=（4- cosθ+sinθ）2+（-sinθ-cosθ）2=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2

cosθsinθ+2sinθcosθ=18+（sinθ-cosθ）=18+8sin（θ-r）

∵O≤θ≤2π時(shí)sin（θ-cosθ）=1

∴|RQ|max=4此時(shí)P（-9，3）θ-=θ= 時(shí)sin（θ）=-1

∴|RQ|min=4此時(shí)P（4，-3）

要用參數(shù)方程來(lái)解決這道題目，首先也是要正確地確定參數(shù)，并且把直角坐標(biāo)系中所有點(diǎn)的坐標(biāo)都用同一個(gè)參數(shù)準(zhǔn)確地表示出來(lái)，先利用兩點(diǎn)間的距離公式給出長(zhǎng)度的參數(shù)表示，并根據(jù)參數(shù)的范圍，運(yùn)用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，最后通過代數(shù)運(yùn)算來(lái)求得長(zhǎng)度的最值。

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，函數(shù)是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)又是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一項(xiàng)有效的工具，在解決很多問題的時(shí)候都能夠用到。所以建立起函數(shù)思想十分重要，構(gòu)建起來(lái)函數(shù)的框架，對(duì)其的應(yīng)用熟練掌握，并且學(xué)會(huì)擴(kuò)展思維，能夠做到舉一反三，這樣才能利用好函數(shù)思想，幫助我們解決各類能夠轉(zhuǎn)換為函數(shù)關(guān)系的問題。

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