微專題“導數及其應用”的熱點考點賞析

吳洪生??

摘 要：導數在高數解題過程中的運用，最基本的作用是將解題過程變得簡單高效，將復雜的高數問題簡單化，為學生下一階段的數學學習做一個優質的鋪墊。導數在數學教學中的引入，加深了學生對函數的理解，激發了學生的創新思維，同時引導學生將導數解題的方式運用到實際生活中去，所以導數是數學教學中有利的輔助工具。教師應注重引導學生用導數進行解題，并且能熟練掌握、靈活運用使其成為數學教學的教學目標之一。

關鍵詞：微專題；導數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）09-093-2

《高中數學課程標準（實驗）》明確指出：“導數的概念是微積分的核心概念之一，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。”在導數模塊中，學生將通過大量實例，經歷由平均變化率到瞬時變化率刻畫現實問題的過程，進而理解導數的含義，體會導數的思想及其內涵，并應用導數探索函數的單調、極值等性質及其在實際中的應用，感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用。“導數及其應用”是高考的必考內容，是高考的重要考點，也是高考的熱點之一，因此教師必須予以高度重視。

一、明確考綱要求

1.了解導數概念，理解導數的幾何意義；

2.了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（對多項式函數不超過三次）。

3.了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（對多項式函數不超過三次）。

4.會求閉區間上函數的最大值、最小值（對多項式函數不超過三次）。

5.會利用導數解決某些實際問題。

二、把握命題方向

1.利用導數研究函數的單調性、極值是近幾年高考的熱點。

2.填空題側重于利用導數確定函數的單調性、極值和最值；解答題側重于導數與函數、解析幾何、不等式、數列的綜合應用，一般難度較大，屬中高檔題。

3.利用導數研究函數的最值以及解決生活中的優化問題，已成為高考的熱點，在全國各地的高考試卷中時有出現。

三、熱點考點賞析

1.利用導數研究曲線的切線

例1 過坐標原點作曲線y=lnx的切線，則切線方程為 。

分析：設切點為（x0，lnx0），而y=lnx的導數為y′=1x，在切點處的切線斜率為k=1x0=lnx0x0，得x0=e，所以k=1e，切線方程為y=1ex。

方法提煉：求曲線的切線方程有兩種類型

（1）求曲線y=f（x）在點P（x0，y0）處的切線方程，其方法如下：

①求出函數y=f（x）在點x=x0處的導數；②寫出切線方程為y=y0+f′（x0）（x-x0）。

（2）求曲線y=f（x）過點P（x0，y0）的切線方程，其方法如下：

①設切點為A（xA，yA）；②由k=f′（xA）=f（xA）-f（x0）xA-x0解出xA；③寫出切線方程。

2.利用導數研究函數的單調性

例2 函數f（x）=x-lnx的單調遞減區間為 。

分析：函數定義域是（0，+∞），由f′（x）=1-1x=x-1x<0，解得0

例3 若函數f（x）=x3+x2+ax+1是R上的單調函數，則實數a的取值范圍是 。

分析：x∈R，有f′（x）=3x2+2x+a≥0恒成立，所以Δ=4-12a≤0，解得a≥13。

方法提煉：函數的單調性與導數的關系：

若x∈（a，b）總有f′（x）>0，則f（x）在（a，b）上為增函數，反之不然；

若x∈（a，b）總有f′（x）<0，則f（x）在（a，b）上為減函數，反之不然。

3.利用導數研究函數的極值

例4 設函數f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0。

（1）當b>12時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；

（2）求函數f（x）的極值點。

分析：（1）函數f（x）=x2+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=2x+bx+1=2x2+2x+bx+1，令g（x）=2x2+2x+b，則g（x）在（-12，+∞）上遞增，在（-1，-12）上遞減，

g（x）min=g（-12）=-12+b，當b>12時，g（x）min=-12+b>0，

g（x）=2x2+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立，∴f′（x）>0，即當b>12時，函數f（x）在定義域（-1，+∞）上單調遞增。

（2）分以下幾種情形討論：

①由（1）知當b>12時，函數f（x）無極值點。

②當b=12時，f′（x）=2（x+12）2x+1，

所以，x∈（-1，-12）時，f′（x）>0，x∈（-12，+∞）時，f′（x）>0。

所以，b=12時，函數f（x）在（-1，+∞）上無極值點。

③當b<12時，解f′（x）=0得兩個不同解x1=-1-1-2b2，x2=-1+1-2b2

（ⅰ）當b<0時，x1<-1，x2>-1。此時f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2。

（ⅱ）當00，在（x1，x2）上有f′（x）<0，此時f（x）有一個極大值點x1和一個極小值點x2。

綜上可知：當b<0時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2；當0

方法提煉：利用導數研究函數極值的步驟：

①確定函數的定義域；②求函數y=f（x）的導數f′（x）；③求方程f′（x）=0的根；④列表確定極值。

4.利用導數解決實際問題

例5 某廠家擬在2016年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）t萬件與年促銷費用x萬元（x≥a，a為一個正常數）滿足t=3-2x+1，已知2016年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的15倍（產品成本包括固定和再投入兩部分資金）。

（1）將2016年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用x萬元的函數；（注：利潤=銷售收入-總成本）

（2）該廠家2016年投入的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？

分析：（1）因為t=3-2x+1。每件產品的銷售價格為15×8+16tt（元），

所以，2016年的利潤y=t（1.5×8+16tt）-（8+16t+x）=4+8t-x=4+8（3-2x+1）-x，

即y=28-16x+1-x（x≥a）。

（2）因為y′=16（x+1）2-1，由y′=0解得x=3（舍去-5），

令y′>0得0

令y′<0得x>3，所以，x∈（3，+∞）時，y為減函數，

所以，當a>3時，y在[a，+∞）上為減函數，x=a時，y最大；

當a≤3時，y在[a，3）上為增函數，在[3，+∞）上為減函數，x=3時，y最大。

綜上所述，當a>3時，該廠家2016年投入的促銷費用a萬元時，廠家的利潤最大，當a≤3時，該廠家2016年投入的促銷費用3萬元時，廠家的利潤最大。

方法提煉：用函數知識解決實際應用問題，首先是仔細審題，建立函數模型，然后是解模，在解模過程中常會以導數為工具，利用導數研究模型函數的極值或最值。這類問題的考查對考生的能力要求比較高，需要綜合運用函數與導數知識靈活加以解決。