歸納猜想型問題的解決方法

馬國建

歸納猜想型問題的解決方法

馬國建

英國物理學(xué)家牛頓說過:“沒有大膽而放肆的猜想，就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn).”歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重.這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計(jì)它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實(shí)情況相吻合，必要時可以進(jìn)行驗(yàn)證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實(shí)際意義.

一、數(shù)字猜想型

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式.

例1 按規(guī)律填數(shù)：

（1）-3、+6、-12、+24、 .

【分析】（1）經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，后一個數(shù)是前一個數(shù)的-2倍，計(jì)算即可得解；

（2）經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，分子是不斷減小的連續(xù)的奇數(shù)，分母是3的指數(shù)次冪，且第奇數(shù)個是負(fù)數(shù)，第偶數(shù)個是正數(shù)，寫出即可.

解：（1）∵-3、+6、-12、+24，

【點(diǎn)評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，比較簡單，題（2）要從分子、分母兩個方面考慮數(shù)值的變化.

二、猜想數(shù)式規(guī)律：

例2 觀察下列等式：

1+3=22，

1+3+5=32，

1+3+5+7=42，

1+3+5+7+9=52，

……

請將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用僅含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示出來：

【分析】經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)的個數(shù)的平方，根據(jù)此規(guī)律解答即可.故答案為：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

【點(diǎn)評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)的個數(shù)的平方是解題的關(guān)鍵.

三、圖形排列規(guī)律型

根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)通過圖形的變化所反映的規(guī)律.其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見.猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系列式表達(dá)出來，再對所列式進(jìn)行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結(jié)論.

例3 請用同樣大小的正方形紙片按以下方式拼成大正方形.仔細(xì)觀察尋找規(guī)律：

第1個圖

第2個圖

第3個圖

第4個圖

第1個圖形中有1個小正方形；

第2個圖形比第1個圖形多_____個小正方形；

第3個圖形比第2個圖形多_____個小正方形；

第4個圖形比第3個圖形多_____個小正方形.

（1）第10個圖形比第9個圖形多多少個小正方形？

（2）第100個圖形比第99個圖形多多少個小正方形？

（3）第n個圖形比第（n-1）個圖形多多少個小正方形？

（4）你還有什么發(fā)現(xiàn)？

【分析】根據(jù)已知圖形得出第2個圖形比第1個圖形多4-1=3個小正方形，第3個圖形比第2個圖形多9-4=5個小正方形，第4個圖形比第3個圖形多16-9=7個小正方形，即可得出后面一個圖形比前面一個圖形多的小正方形個數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，進(jìn)而得出公式第n個圖形比第（n-1）個圖形多（2n-1）個小正方形.

解：（1）第10個圖形比第9個圖形多2× 10-1=19個小正方形；

（2）第100個圖形比第99個圖形多2× 100-1=199個小正方形；

（3）第n個圖形比第（n-1）個圖形多2n-1個小正方形；

（4）還可以看出后面一個圖形正方形多的個數(shù)正好是前一個正方形一條邊上的正方形個數(shù)的2倍加上1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，利用已知圖形得出相鄰圖形之間的個數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

提煉 我可以發(fā)現(xiàn)第1個圖形有1個小正方形.

由圖形可以發(fā)現(xiàn)1+3+5+7+9+…+（2n-1）=______.（用含有n的代數(shù)式表示）

【解答】1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

四、坐標(biāo)變化型

例4 如圖，直線y=x+1分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A1，再過點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B1，以點(diǎn)A為圓心，AB1長為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A2，……，按此做法進(jìn)行下去，則點(diǎn)A8的坐標(biāo)是（ ）.

A（.15，0） B（.16，0）

【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求出AA1，AA2，AA3的長，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，找到規(guī)律即可解答.

解：當(dāng)x=0時，y=1，

當(dāng)y=0時，x=-1，

可得A（-1，0），B（0，1），

AA1=AB=

同理，AA2=AB1=2，AA3=AB2=22，

A（3），

可得A（828-1，0），即A（815，0）.

【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)第五中學(xué)）