開放地思考 細心地探究

鄧法珍

開放地思考 細心地探究

鄧法珍

近些年來，開放探究型問題成了各地中考數學的熱點試題之一.此類題目具有較強的綜合性與創造性，既能考查同學們對基礎知識的掌握，又能反映同學們對知識內容的拓展、聯想、應用能力和開發創造能力.

我們把開放探究型問題主要分為以下四種基本類型：條件開放探究型、結論開放探究型、規律開放探究型、策略開放探究型.筆者結合近幾年的各地中考試題，談談這幾種類型試題的特點和解答方法.希望能給同學們的學習帶來幫助.

一、條件開放探究題

例1 已知：如圖1，在△ABC中，點E是邊AB上的點，點F在AC邊上，請添加一個條件 （寫出一個即可），使得以A，E，F為頂點的三角形與△ABC相似.

圖1

【試題分析】本題從“知識層面”上考查了相似三角形的性質和判定，在“思考方向”上我們根據試題的特點可以從結論入手，采用“執果索因”的分析法，由于沒有確定三角形相似的對應元素，故應分類討論，分兩種情況：①若結論為△AEF∽△ABC，則可以填∠AEF=∠B或∠AFE=∠C或EF∥BC或等；②若結論為△AFE∽△ABC，則可以填∠AFE=∠ABC或∠AEF=∠C或等.

【試題賞析】同學們對本題一定眼熟，因為它的圖形源于課本——各種版本教材的例習題中常見的基本圖形，又高于課本——包含了兩個相似基本圖形平行型和相交型.本題新穎之處在于別出心裁地給出了不完備的條件，需要同學們添加適當條件推論出結論.這就要求大家能全面理解題目的“知識源泉”，雖然難度不大，但有一定的開放度，答案可能不唯一，思維的方向是多角度的，旨在培養同學們的發散思維和創新思維.

二、結論開放探究題

例2 已知某函數具有以下性質：當x＞1時，y隨x的增大而增大.請寫出滿足條件的一個函數關系式： .

【試題分析】該題是一道探究多種答案的開放題，可以是各種類型的函數.一次函數可以是y=2x+1等，反比例函數可以是y=-3x等，二次函數可以是y=（x-1）2+3、y=x2等，也可以是其他類型的函數.

例3（2016·達州）如圖2，在?ABCD中，已知AD＞AB.

圖2

（1）實踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接EF；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

【試題分析】（1）由角平分線的作法容易得出結果，在AD上截取AF=AB，連接EF，畫出圖形即可（如圖3）；（2）由平行四邊形的性質和角平分線的定義得出∠BAE=∠AEB，證出BE= AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出結論.

圖3

【試題賞析】例2、例3屬于結論開放探究題，該類問題一般是結論不確定或沒有唯一答案，特點是題設中給出全部條件.在解答此類問題時，需要充分利用已知條件和圖形特征，進行觀察、思考、歸納、類比，透徹分析出給定條件下可能存在的結論，然后經過驗證或論證做出取舍.這是一種執果索因式的綜合性思維，培養綜合分析判斷能力和科學的推斷論證能力.

三、規律開放探究型

例4（2016·濰坊）在平面直角坐標系中，直線l：y=x-1與x軸交于點A1，如圖4所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…正方形AnBnCnCn-1，使得點A1、A2、A3…在直線l上，點C1、C2、C3…在y軸正半軸上，則點Bn的坐標是.

圖4

【試題分析】已知y=x-1與x軸交于點A1，可得A1坐標（1，0），可得B1坐標（1，1），因為C1A2∥x軸，可得A2坐標（2，1），再由四邊形A2B2C2C1是正方形，求得B2坐標（2，3），根據C2A3∥x軸，可得A3坐標（4，3），根據四邊形A3B3C3C2是正方形，求得B3（4，7），因B1（20，21-1），B2（21，22-1），B3（22，23-1），…，由此規律可得Bn坐標（2n-1，2n-1）.故答案為（2n-1，2n-1）.

【試題賞析】規律探索試題是中考中的一棵常青樹，一直受到中考命題者的青睞，主要原因是這類試題沒有固定的形式和方法，可以考查同學們的探究和創新能力.此類型問題解決的一般方法是對特殊性得到的結論進行合理猜想，適量驗證，由特殊猜測一般的結論或規律.處理該問題關鍵是要找出An、Bn兩點坐標的關系，從特殊點B1開始進行探究對象所具有的內在規律，通過猜想、證明等環節，完成規律的探究過程.

四、策略開放探究型

例5（2016·山西）如圖5，六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，AB是其中一個小長方形的對角線，請在大長方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡.

圖5

圖6

（1）在圖5中畫出一個45°角，使點A或點B是這個角的頂點，且AB為這個角的一邊；

（2）在圖6中畫出線段AB的垂直平分線.

【試題分析】第（1）問根據等腰直角三角形的性質即可解決問題，有兩種不同的構造策略如圖7、圖8.

圖7

圖8

第（2）問由于作圖工具的限制，最終的落腳點為“兩點確定一條直線”，所以解決此題的突破口在于如何確定關鍵點.作圖策略有很多，可以分為以下幾類：

類型①：借助矩形的性質確定關鍵點，如下圖.

類型②：借助正方形的性質確定關鍵點，如下圖.

類型③：借助被隱藏的網格確定關鍵點.

【試題賞析】本題以長方形的對角線為載體，綜合考查等腰直角三角形的判定，線段垂直平分線的判定，正方形的判定、旋轉、中心對稱等相關知識.試題中幾何關系豐富，蘊含了“數量關系決定位置關系”的數學本質.兩個小問題的解法均豐富多樣，可以發現，解答策略入口寬、方法多：其中類型①的解法思路要求同學們具有較高的幾何直觀能力；類型②的解法很大程度上是受第（1）問的啟發得到的，要求同學們要有較好的類比聯想能力；類型③的解法思路則反映思維的高度形象具體化，要求具有較高的數學素養.不同的解法透露了不同思維的差異，但是解此類問題的關鍵重在轉化：第（1）問轉化為等腰直角三角形，第（2）問根據“兩點確定一條直線”公理轉化為“兩點的確定”.

開放探究型問題題型設計靈活，問題所涉及知識面廣，解決的關鍵是要認真審題，確定目標，更要深刻理解題意，拓展思路，發散思維，數形結合，合理轉化.而直觀歸納與嚴格推理論證相結合是處理這類問題的基本思路和解題策略.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）