線段最值問題探究

朱華慶

線段最值問題探究

朱華慶

同學們，在我們初中數學學習中，遇到很多線段的最值問題，而且有些難度很大，今天我們一起想方設法，巧妙解決線段及線段和的最值問題.

我們把線段的最值問題分為三類：1.動點在直線上運動；2.動點在圓上運動；3.動點在其他曲線上運動.限于篇幅，我們研究1、2兩方面的問題，這也是考試的主要題型.

一、動點在直線上運動

【回顧一】在蘇科版《數學》教科書八年級上冊學習垂直平分線時，我們遇到一個經典的問題：如圖1，在村莊A、B同側有一條馬路l，準備在馬路邊上建一個加油站P，使得PA+PB的和最小，試作出點P的位置.

圖1

【點評】此題的解法和原理同學們一定都很熟悉，讓我們一起來回顧并整理一下：這是屬于動點在直線上運動的最值問題；作圖的關鍵是找到兩個村莊（即兩個固定點），一條馬路（動點的運動方向）；最小距離和就是一個村莊的對稱點和另一個村莊的連線；如果村莊在馬路兩側，則兩村莊連線所成的線段即最小距離和.

【嘗試1：一個動點】如圖2，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E為BC邊中點，點P為對角線BD上一動點，求PE+PC的最小值.

圖2

【分析】由題意發現動點P在直線BD上運動，而E、C固定不動，把E、C看成村莊，BD看成馬路，這里顯然C的對稱點比E的對稱點容易找到，所以作C的對稱點（由于菱形的對稱性，C、A關于BD對稱），連接AE，交點就是要求的點P.

圖3

解：點C關于BD的對稱點為點A，所以連接AE交BD于P，如圖3.由已知條件可得△ABC是等邊三角形，AE是高，所以PE+PC的最小值為AE= 3.

【點評】首先由動點在直線上運動確定運動類型，其次，找到村莊，找到馬路，作出正確的圖形，最后根據條件求出結果，這是這類線段最值問題的基本解法.

【嘗試2：兩個動點】如圖4，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，Q、P分別是AD、DC上的動點，若AB=6，BC=8，求四邊形EFPQ周長的最小值.

圖4

【分析】1.因為動點在直線上運動，所以要找準村莊和馬路；2.要求四邊形周長的最小值，而E、F是固定的，即要求EQ+QP+PF的最小值；3.P、Q兩個點都在動，研究起來很麻煩，所以我們讓兩個動點的其中一個動點不動，把雙動點問題轉化為一個動點問題.我們把這個題目再具體地解剖下，先讓Q不動（先P不動也可以），于是EQ+QP+PF中，EQ也是一個固定值，只要求QP+PF的最小值，顯然Q、F不動，看成村莊，P在馬路DC上運動，作F的對稱點F′，連接QF′，如圖5，QF′就是QP+PF的最小值，所以要求EQ+QP+PF的最小值，只需求EQ+QF′.我們發現，E、F′是固定的，看成村莊，讓Q動起來，AD看成馬路，作對稱點E′，連接E′F′即所求，如圖6.

圖5

圖6

解：如圖6，作點F關于DC的對稱點F′，作點E關于AD的對稱點E′，連接E′F′，由題意BE=EA=AE′=3，BF=FC=CF′=4，在Rt△E′BF′中，由勾股定理得，E′F′=15，又EF=5，∴周長最小值為20.

【點評】遇到兩個動點的問題要想辦法轉化為一個動點的問題.選擇作對稱點時，要注意哪個點更合適.上題中，為什么不作Q的對稱點，而作F的對稱點呢？因為Q不是真正的不動點，還是要再次動起來的，相比而言，F是一直固定的，所以比找Q作對稱點更加合適.

二、動點在圓上運動

【回顧二】在學習蘇科版《數學》教科書九年級上冊“點與圓的位置關系”時，有一道典型問題：如圖7，點P是圓O外一點，點Q是圓O上一個動點，若PQ的最大值是8，最小值是2，求圓O的半徑.

圖7

【點評】關于本題的解答以及過程相信同學們已經熟練掌握了，我們一起回顧下結論：Q′、Q″是直線PO與圓的交點，PQ′為PQ的最小值，PQ″是PQ的最大值.

【嘗試1：一個動點】如圖8，在Rt△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90°，點P為平面內一點，且PB⊥PC，求線段AP的最小值.

【分析】首先由動點P的運動路線確定本題屬于哪種類型的線段最值問題.本題中，由PB⊥PC可以發現，點P是在以BC為直徑的圓上運動，把A看成圓外一點，問題解決.

圖8

解：如圖9，取BC的中點O，連接OA，在Rt△ABO中，OB=3，AB=4，故OA=5，∴AP=2.

圖9

【點評】本題是圓外一點到圓上動點最小值的基本解法，難點是找到動點運動的路線.

【嘗試2：兩個動點】如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，且△ABC≌△DEC，點P是AB上一動點，點Q是CE邊中點，當△DEC繞著點C旋轉時，求線段PQ的最小值.

圖10

【分析】本題的難點不僅僅在于兩個動點，而且兩個動點運動的類型不同，點P在AB上運動，點Q呢，其實是在以C為圓心、半徑為3的圓上運動.我們的方法是先讓一個點不動，優先解決圓上的動點，所以假設點P不動，看成是圓C外一點，Q為圓C上一動點，所以連接PC，與圓C相交于Q，此時PQ最短，如圖11.接著讓點P動起來，如何讓PQ最小，我們要整體考慮PC，當PC⊥AB時，PC最短，而QC=3不變，此時PQ最小.

圖11

解：過點C作AB的垂線，垂足為P，與圓C相交于Q，由題意知，此時CP可以看成Rt△ABC斜邊AB上的高，計算得高為4.8，也就是CP的最小值為4.8，∴PQ的最小值為4.8-3=1.8.

【點評】通過本題的探究，我們發現，遇到雙動點問題的時候，需要轉化為單動點問題，同時遇到圓上動點和線上動點的時候，先假設直線上的動點不動，等圓上的動點研究好了，再讓直線上的動點動起來.本題還用到了整體思想，即要研究PQ的最小值，可以先研究PC的最小值，再去掉固定長度QC.

三、綜合應用

（2014·無錫）如圖12，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=3，圓A半徑為1，圓B半徑為2，點E為圓A上動點，點F為圓B上動點，點P為DC邊上動點，則求PE+PF的最小值.

圖12

【分析】本題有三個動點，點P在直線上運動，點E、F在圓上運動，由以上探究可知，我們先讓點P不動，首先讓點E動起來，使得PE最小，再讓F動起來，讓PF最小，同學們能找到E、F的位置嗎（見圖13）？接著，讓點P動起來，現在我們的問題已經轉化為E、F不動，點P運動，求PE+PF的最小值.按照“回顧一”的方法：把E、F看成村莊，把CD看成馬路，遺憾的是，由于E、F兩點位置的不確定，無法作出能夠計算的對稱點.那么問題在哪里呢？因為E、F不是真正的固定點.這時，我們用整體的思想，從PA、PB角度考慮，只要PA+PB的和最小，而AE、BF的值是固定的，最后減去AE+BF的和就可以了.那么，如何使得PA+PB的和最小呢？只需把A、B看成村莊，CD看成馬路即可.

圖13

解：作B關于CD的對稱點B′，連接AB′，交CD于點P，如圖14.

圖14

由于B、B′關于CD對稱，∴DP垂直平分BB′.

∴△BCQ是直角三角形，由已知可得∠BCQ =60°，∠CBQ=30°，∴∠ABB′=90°，在Rt△BCQ中，BC=3，易得BQ=323，∴BB′=33，在Rt△ABB′中，AB=3，BB′=33，∴AB′=6，∴PE+PF的最小值是6-1-2=3.同時，我們可以發現C、P兩點是重合的.

【點評】本題是中考填空題的最后一題，難度有些大，特別是同時存在兩類動點：點在直線上運動、點在圓上運動，要熟悉這兩種類型問題的解決方法，要運用整體的思想，所以只要找對方法，問題就變得容易很多.

相信同學們在以后遇到類似問題時，只要方法得當，一定能夠輕松應對.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區堯塘中學）