山重水復疑無路，柳暗花明又一村
——例談通過追問培養學生的解題能力

江蘇省昆山經濟技術開發區高級中學 劉勝男

山重水復疑無路，柳暗花明又一村
——例談通過追問培養學生的解題能力

江蘇省昆山經濟技術開發區高級中學 劉勝男

追問，簡言之就是追根究底地發問。對于數學教學來說，追問就是基于教學目標設置一系列問題，然后進行由此及彼、由淺入深的追問，以形成嚴密有序、節奏井然的課堂教學流程。

追問的優勢是顯而易見的，它可以啟發學生再思考、培養學生發現問題，也可以通過追問的層層引導，培養學生的解題能力。在追問過程中，學生可以自然形成探究問題的意識，實現對學生高層思維能力的培養。

下面以兩個實例，談談追問對學生解題能力的培養。

這道題目有一定難度，大多數學生剛讀到此題時沒什么思路，選擇了放棄，部分進行了嘗試的學生，也覺得解題有些障礙。在試卷講評過程中，我通過追問讓學生自己發現并體會了解題的過程。

師：大家對本題感到沒有思路，那么再次審題，在△ABC中，給出了兩個條件都是什么條件？

生：邊長。

師：那么可以考慮什么辦法？哪個定理公式涉及邊長？

生：余弦定理。

師：那么嘗試一下。

這是第一次追問。通過追問，學生從沒有思路到發現了一條可以嘗試執行的思路。

（學生進行運算，稍后投影兩學生運算過程）

師：兩位同學都選擇了余弦定理，唯一的區別是選擇的角不同。那么先考慮一下，如何表示面積？

師：邊長是否已知或者能表示？

生：可以。

師：那么用正弦能表示嗎？怎么表示？

生：正弦、余弦平方和為1。

師：剛才兩位同學表示的方法相同，有沒有哪一個更好？（第二次追問）

生：第一個更好。因為要平方計算，第一個簡單。

師：非常好。這就要求大家在運算之前先考慮一下，一樣的方法，是否可以做出選擇哪個計算更簡便。

第二次追問，引領學生思考，在可解決的途徑中選擇更優。

分子可以看成以x2為自變量的二次函數。

此處大部分同學不能進行下去，但我所期待引領學生達到的思考過程已經比較充分了。

本題的解決雖已完畢，但我決定抓住機會，再引申一下，讓學生透過表面現象找出更加深刻的本質，從而尋求出更好的解決辦法。

于是，我進行第三次追問。

師：本題解決完畢后回顧一下，開始時入手較難，選擇了余弦定理后，計算較為麻煩。那么再次審題，我們是否能從其他角度來嘗試解決這道題目？

師：求△ABC面積的最大值，又已知底邊長AB=2，即求什么的最大值？

生：高的最大值。

師：高應該怎么表示？

生：不知道……

師：高又可以稱作什么？

生：……

師：也就是，從頂點到底邊的______？

生：距離。

師：非常好。直接求距離仍舊困難，那么我們是否可以把這段距離看成點到直線的距離？這樣，我們需要做什么？

生：建系。

學生敘述：以AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系。則A(-1，0)，B(1，0)，設C(x，y)，化簡有x2+y2-6x+1=0。

通過第三次追問，讓學生體會到本題可以引申發現的內在本質，即阿波羅尼斯圓。通過這個簡單例子的示范，既能對經典的阿波羅尼斯圓產生較為深刻的印象，也能發散學生的思維，拓寬思路，在面對一個難以入手的問題時，思考是如何逐步發現條件著手解決的，又是如何開拓條件使問題得到簡易解決的。

例2如圖，海上有A，B兩小島相距10km，船O看A島和B島所成的視角為60°，從船O上派一只小艇沿BO方向駛至C處進行作業，且OC=BO，設AC=xkm。

（2）晚上小艇在C處發出一道光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值．

難點在于第二小問。為了讓學生自己發現解決途徑，我選擇了追問的方法。

師：第二問難住了大家。那么思考一下，想求BD的最大值，如何表示BD呢？你是否有什么想法？

生1：我想利用題目中的直角三角形，用邊和角的三角函數表示BD。

師：好。你想怎么表示？

師：那么其他同學能幫助他嗎？

生2：sin∠BAD=sin∠BAC，然后在△ABC中，可以看看正弦定理行不行。

師：大家嘗試寫一下。

師：又進行不下去了？sinC怎么處理？

師：BC呢？

生4：BC=2OB。

師：非常好。為什么不用OC？

生4：前面求出是OA與OB的關系，sinC也是用OA表示，用OB可能更好。

師：非常好。大家整理一下。

師：接下來如何求最值呢？

生：可以求導。

學生運算完畢。

師：剛剛進展不下去時，選擇向第一小問中已求出的關系式靠攏，雖然過程艱苦，但還是成功地解決了問題。回顧一下我們的解題過程，有沒有哪里還可以簡化的？

生5：BD可以直接用BCsinC表示，在大直角三角形里。中間可以省掉很多步驟。

師：非常好！通過這一步簡化，我們也能發現，有時候未必直接用上題中最簡單的那個長度10就可以讓過程最簡，還需要看看下面我們問題的需要。還有補充嗎？

生6：最后還可以分離一下，利用函數單調性求最值，比直接求導運算簡單。

師：很好！

學生沒有補充了。此時我繼續追問。

師：我們雖然解決了這個問題，但是中間也經過了很多的嘗試和運算，過程略麻煩。能不能換個視角？我們從頭來看，求BD距離，除了像上面那樣直接表示BD，還有什么別的思路嗎？

師：距離BD還可以看成什么？

生7：難道要建系？

師：可以考慮，但是題中的條件不是非常易用。

生8：距離也可以看成是高。

師：什么的高？

生8：△ABC，用AC做底，BD就是高了，而且AC=x，也算已知。

師：非常好！那么△ABC的面積還可以用其他方式表示嗎？

生8：如果用BC做底，高可能不是很好算，要用相似。

這樣馬上就把面積表示出來了！

師：大家的回答都非常精彩！這樣我們可以更加迅速、準確地計算出BD，求最值的方法同上。

師：通過大家的思考，我們發現了很多難題只要多次思考，根據條件和所求不斷追問，啟發自己，往往都能找到可操作的解決途徑，不僅能解，還可以找到最優解。

我所嘗試的追問，大家也可以不斷嘗試，在做題審題過程中自行不斷追問，這樣問題的解決之路會一點點展開。

正所謂，山重水復疑無路，柳暗花明又一村。

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