有效運用數學實驗 解決數學思維瓶頸
——一道試題中運用數學實驗的可行性紀實

江蘇省高郵市車邏鎮初級中學 劉 菲

有效運用數學實驗 解決數學思維瓶頸
——一道試題中運用數學實驗的可行性紀實

江蘇省高郵市車邏鎮初級中學 劉 菲

董林偉主任對數學實驗的概念是這樣界定的：“為獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想，解決某類數學問題，實驗者運用一定的物質手段，在數學思維活動的參與下，在典型的實驗環境中或特定的實驗條件下所進行的一種數學實踐探索活動。它是通過動手動腦‘做’數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等）在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動。”通過數學實驗，可以適當降低學生探索數學問題的難度，使數學學習進程與學生的思維水平和經驗背景更趨科學合理。在實驗過程中，學生可以通過操作與體驗積累基本活動經驗，加深對數學的領悟與理解，培養發現問題和提出問題的能力，從而形成解決問題的方法，進而提升數學素養。

一、試題

如圖，一個小圓沿著一個五邊形的邊滾動，如果五邊形的各邊長都和小圓的周長相等，那么當小圓滾動到原來位置時，小圓自身滾動的圈數是（）

A.4B.5C.6D.10

在一次考試中，這道試題的得分率非常低，通過方法的引導和點撥，大部分學生仍無法理解為什么是6周，還會有“5條邊不應該是5周嗎”的問題存在，于是教者就想到設計一個“圓繞著圖形滾動”的數學實驗，通過動手操作直觀形象地發現圓繞著圖形滾動的運動軌跡，從而解決這個問題。

二、實驗設計

（一）實驗目的

經歷圓形硬紙片在不同軌道上滾動的操作過程，探究圓在不同軌道上滾動時圓心的路徑及路徑長，提高學生解決問題的能力。

（二）實驗準備

圓形硬紙片（留有小孔圓心），直尺，可調節角度的活動角，三角板。

（三）實驗內容與步驟

活動一：在直線上無滑動地滾動圓。

將圓形硬紙片沿著直尺邊緣無滑動地滾動。

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）若圓的半徑為r，圓滾動一周時，圓心運動的路徑長是多少？為什么？

（3）若線段AB＝4πr，則半徑為r的圓從點A無滑動地滾動到點B需轉圈；

活動二：在折線上無滑動地滾動圓。

1.將圓形硬紙片沿著可調節角度的活動角邊緣無滑動地滾動。（活動角可調節為90°，60°，任意角α）

（1）描出圓心運動的路徑，觀察此運動路徑是什么圖形？

（2）①若∠BAC＝90°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈；

②若∠BAC＝60°，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈；

③若∠BAC＝α，角的兩邊AB＝2πr，AC＝2πr，則半徑為r的圓從點B無滑動地滾動到點C需轉圈。

2.將圓形硬紙片沿著三角板的邊緣無滑動地滾動一圈。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：計算半徑為r的圓形紙片滾動一圈圓心運動的路徑長，路徑長與三角板三邊長度之間有何關系？

（4）思考：如果圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動，圓心運動的路徑又如何？

活動三：在曲線上無滑動地滾動圓。

1.取兩個半徑相等的圓形硬紙片，固定其中一個，另一個沿著其邊緣無滑動地滾動一周。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）算一算：半徑為r的圓形紙片滾動一周，圓心運動的路徑長與圓形紙片的周長之間有何關系？

2.任意畫一條曲線，將圓形硬紙片沿著這條曲線的邊緣無滑動地滾動。

（1）想一想：圓心運動的路徑是什么圖形？

（2）畫一畫：描出圓心運動的路徑，與你的想象是否一致？

（3）說一說：圓心運動的路徑長與曲線的長之間有何關系？

（四）實驗設計說明

本實驗是為新蘇科版義務教育教科書《數學》九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”涉及的問題而設計的，通過圓在直線上、折線上、曲線上的無滑動地滾動，探究其圓心運動的路徑及路徑長，提高學生解決問題的能力。首先，通過圓在直線上無滑動地滾動的操作過程，直觀發現圓心運動路徑的形狀，感受“等距”特征。再通過計算路徑長，弄清圓滾動時圓心運動的路徑和圓移動的距離之間的關系。然后通過圓在折線上無滑動地滾動的操作過程，先畫后猜想圓心運動路徑的形狀，驗證猜想的正確性，計算路徑長度，并想象與思考圓在三角形內部邊緣無滑動地滾動的情形。最后，圓在曲線上無滑動地滾動，感受圓心運動的路徑與曲線的長之間的關系。

三、實驗感悟

《課標》（2011年版）中明確指出：“數學活動經驗的積累是提高學生素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要標志，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。數學活動經驗需要在‘做’的過程和思的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的。”本案例中，操作與思考并行，思行結合的學習方式，促成學生對數學的認識從感性向理性飛躍。試想，如果沒有親身體驗，有些學生就無法理解圓在五邊形上滾動需要6圈，多出的1圈是怎么來的……實驗后，學生不僅僅理解了以上問題，還有了其他思考：圓在矩形的內部沿著邊的邊緣無滑動地滾動會涉及哪些問題？甚至有些學生都能自己設計問題。顯然，這些思考成果離不開實驗活動，而實驗活動中的思考又促成了活動經驗的積淀。

數學實驗教學的設計，不能簡單地受任務驅動，僅僅為了讓學生動手操作而缺乏具有適宜的數學思維成分的設計，否則將難以達成理想的預設教學效果。像這樣的數學實驗設計就順其自然，順應學生的需求，數學實驗中有動手操作，也有思維的發展，一切都順理成章，教學效果也比較顯著，更重要的是學生很容易地解決了自己想要解決的問題，成就感油然而生，從而激發了學生學習數學的熱情，也提高了學生的數學核心素養。

[1]董林偉．初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013：6.

[2]錢云祥．數學實驗：讓數學思考走向深刻[J].中學數學教學參考，2015.10：4-6.

[3]董林偉主編．義務教育教科書數學實驗手冊九年級全一冊.

【備注：本文系省第11期教研重點課題《初中數學實驗課程資源的開發與利用》（課題編號2015JK11-Z066）的階段性成果之一】

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