“數形結合”在數學解題中的應用

哈爾濱師范大學數學科學學院 馮 宇

“數形結合”在數學解題中的應用

哈爾濱師范大學數學科學學院 馮 宇

在數學解題過程中，數形結合思想方法的應用較普遍，且效果較好。數形結合，即結合數與形之間的對應關系，實現簡單直觀幾何圖形、位置關系與抽象數學語言的密切聯系，實現“以形助數”、“以數解形”的目標，提高數學解題效率。在高中數學解題中，數形結合思想方法的應用尤其頻繁。

數形結合；數學；解題；應用

如今，隨著我國教育制度的嚴格化，高中數學題目開始抽象化，僅想從數方面解決問題很難。因此，在實際的數學解題分析當中，要想促進學生對數學知識的理解與運用，必須將抽象的知識點簡單化與直觀化。而數形結合思想方法的運用能實現這一點，能幫助學生分析和解決高中數學問題，提高高中數學解題效率。本文主要探討“數形結合”在數學解題中的有效應用。

一、“數形結合”在高中數學解題中能解決的問題分析

1.集合問題

在高中數學問題當中，集合問題是最基本的，在實際解決該類問題時，往往需要運用數軸及Venn圖，科學運用數形結合思想方法，促進抽象問題的簡單化，幫助學生快速而正確地解決問題。

例：假設有兩個集合：M={（x，y）︳x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）x2-y=0，x∈R，y∈R}，求集合M∩N中的具體元素數量。（答案應為2個）

分析：通常來說，如果依靠單純數量關系解題的話，往往運用這種思想與方法：x2+y2=1，x2-y=0，在聯立這兩大方程之后能夠形成方程組，解答方程組以后，能得到x2+x4-1=0。通過這種方式可以得出x的值，進而求出y值。該解題步驟較多，過程復雜，所需時間多，解題效率低。但在運用數形結合思想之后，就能在多次審題后得出x2+y2=1這個方程式，可以準確地表示圓，x2-y=0可以表示拋物線，將這個問題轉化為圓和拋物線之間的多個交點，其中圓用x2+y2=1表示，拋物線用x2-y=0表示。運用這種數形結合的模式方法，可以在繪圖的基礎上得出準確答案，不需要復雜的計算，且解題效率比較高。

2.函數問題

在方程問題的解答過程中，能轉化為函數交點之間的問題；不等式問題可能結合題干要求與相關條件轉化為函數問題，研討幾何意義，通過數形結合，從圖形中得出正確結果。

例：在x∈（0，2π）這個區間內，方程sin2x=sinx的解有多少個？（答案應為3個）

分析：若運用單純解題方法，解題過程為：結合sin2x=2sinxcosx=sinx，可知2cosx=1，根據題目要求x∈（0，2π）可得出答案，即得方程sin2x=sinx的解有3個。雖然這種方法可行，但需一次性計算，容易由于疏忽而遺漏有效答案。而運用數形結合思想，在相同坐標系中繪出兩個三角函數的圖象，進而觀察圖象，就能快速得出正確答案。

3.線性規劃問題

在高中數學題目當中，線性規劃問題即受一系列條件的約束，求目標函數最值。在線性規劃問題的解決過程中，數形結合思想方法應用最廣泛，通過觀察圖形找思想，就能實現抽象問題的簡單化與具體化。

4.數列問題

在高中數學解題當中，可將數學看成一個特殊函數。在實際解決數列問題的過程中，應科學運用數形結合思想轉化成函數圖象，通過直觀分析得出結果。

5.絕對值問題

在絕對值問題解答過程中，可結合數形結合思想，將該問題轉換到直觀的數軸上，結合絕對值性質明確相應的解題范圍，最終求出絕對值。

例：已知∣x∣＞a，（a＞0），求x的取值范圍。

分析：可結合數形結合思想方法轉換為數軸，如圖1，進而結合絕對值性質，即兩點之間的距離，求出x的取值范圍，即x＜-a或x＞a。

圖1

6.解析幾何與立體幾何問題

在高中數學解題當中，解析幾何與立體幾何問題的解決思想，即為數形結合思想。在實際解題過程中，應將點、線、面及曲線性質即相互之間關系的幾何問題，轉變為單純的代數運算問題，得出正確結果。

二、“數形結合”在數學解題中運用的改進方法

1.運用數形結合思想，理解數學概念

要想有效地解決高中數學題，首先必須熟練掌握數學基礎概念，不然容易在學習數學定理等時感到吃力。運用數形結合方法理解基礎概念，能實現學生感性思維到理性思維的有效轉變，促進學生對事物本質的理解，與此同時，還能幫助學生在解題當中科學運用數學思想與概念。

2.運用數形結合思想，分析數學例題

在高中數學學習中，通過案例分析，能促使學生掌握新的數學知識點。此外，在數學例題分析當中，通過合理運用數形結合思想，能幫助學生快速學習，提高學生的數學解題能力。比如學生在解答幾何問題時，可將其中的語言翻譯為幾何知識，繪出圖形，進行下一步的計算。

3.運用數形結合思想，解決實踐類問題

要想提高學生的解題能力，必須引導學生科學運用數形結合思想，多解決一些實踐類問題。與此同時，要激發出學生自主學習的興趣與積極性，促使學生主動認知數學知識，在反復練習的基礎上掌握數形結合思想本質，加快解題速度，節省解題時間。

4.運用數形結合思想，培養多元化解題思路

圖形直觀性很強，因此，學生在解題當中可通過圖形觀察解決抽象問題，解決解題思想局限性問題。學生必須有較強的數形結合解題意識，注意培養圖形感知能力。同時，學生必須認真分析題目已知與隱含的要求與條件，確保解題結果的準確性與全面性。另外，學生要結合圖形明晰題意，科學轉化與整合圖形，逐漸降低問題解決難度，且要著重培養自己的空間思維能力。

綜上所述，在實際的高中數學解題過程中，合理運用數形結合思想方法很重要，也很有效，不僅能提高學生的解題效率，還能培養學生的解題思維，簡化高中數學問題，值得廣泛應用與推廣。

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