提高數(shù)學習題課教學有效性的方法

張惠++楊宏勝

[摘 要] 數(shù)學是思維的體操。數(shù)學課堂應該具有活潑的氛圍，富于變化，讓學生的思維活躍起來。習題教學中開展以學生為主體的一題多解、以教師為主導的一題多變和以合作為基礎的互動交流，能夠讓課堂在認知遷移、觀點碰撞和民主研討中增添靈動的氣息。

[關鍵詞] 一題多解；一題多變；互動交流

一、以學生為主體一題多解

課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，培養(yǎng)學生參與課堂教學中的主人翁意識，是現(xiàn)代數(shù)學教學的趨勢。要實現(xiàn)這一目標，教師要藝術地創(chuàng)造把課堂還給學生的條件。習題教學中的一題多解具備這方面的特征。這里說的一題多解并不是教師給學生呈現(xiàn)多種方法，而是給學生表達的機會，借用一題，讓不同的學生呈現(xiàn)不同解法，讓學生的觀點相互碰撞，思想相互交流，達到仁者見仁、取長補短的目的。

問題1.（蘇教版選修2-1課本第37頁習題10改編）已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩個焦點分別為[F1，F(xiàn)2]，若橢圓上存在點P，使[∠F1PF2]為直角，則橢圓的離心率的取值范圍是______。

學生1：設點[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]為直角，通過[PF12+PF22=F1F22]可以得到[x02+y02=c2]，得[y02=c2-x02]，整理得到一個關于[x0]的表達式，再由[x0]范圍計算得到離心率的取值范圍。

學生2：設點[P（x0，y0）]，由[∠F1PF2]為直角，得[kPF1?kPF2=-1]。

學生3：用[PF1PF2=0]比較好！

學生4：由“橢圓上存在點P，使[∠F1PF2]為直角”這個條件不難看出，這樣的點P肯定落在以原點為圓心、c為半徑的圓上，而同時點P又在橢圓上，由此得到結論，圓和橢圓必須有公共點，得到[c≥b]，從而得到所需結論。

學生5：設橢圓的上頂點為Q，則[∠F1QF2]為橢圓上的點與兩個焦點的最大夾角，所以若橢圓上存在點P，使[∠F1PF2]為直角，則[∠F1QF2≥90°]，因此有[∠F1QO≥45°]，所以主要考察此時它的正弦值的取值范圍即可，即[sin∠F1PO∈22，1]，即離心率[e∈22，1]。

點評：習題課堂猶如一湖春水，讓老師獨唱，會風平浪靜一片祥和。但學生都是有思想的人，更是處于善于表達、急于表達的年齡，教師把問題拋給孩子，把表達的機會還給孩子，就會出現(xiàn)一石激起千層浪的美景。學生會根據(jù)自己的認知，充分發(fā)掘自身的潛能，從不同的角度分析，經(jīng)過不同視角和觀點的交流，全班同學會分享多視角思考問題和解決問題的過程，這既擴大了知識面，又讓學生感受到成功的喜悅，充分調(diào)動學生學習積極性。

二、以教師為主導一題多變

變式教學是運用不同的知識和方法，對有關數(shù)學概念、定理、習題等進行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識地引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律。變式教學最終是為了通過變化讓學生掌握變化中的不變，能從不同方面、不同角度和不同情況來說明某一事物，從而概括出事物的一般屬性。因此，適當?shù)淖兪侥軌蚴箤W生確切地掌握數(shù)學基礎知識。另外，數(shù)學題目是永遠做不完的，如果善于變換，在變式中掌握一類問題的解法，則會以少勝多，大大提高課堂教學的有效性。

問題2.已知[f（x）=ax-lnx，x∈]（[e]]，[g（x）=lnxx]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，[a∈]R。

（1）討論a=1時，函數(shù)[f（x）]的單調(diào)性和極值；

（2）求證：在（1）的條件下，[f（x）>g（x）+12]。

變式1.在本例條件下，是否存在正實數(shù)a，使[f（x）]的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由。

意圖：將視角從已知a的值的條件下求極值變?yōu)橐阎钪荡_定a的值，從正向和逆向兩個方面體驗導數(shù)在求最值和極值中的應用。

變式2（2013江蘇卷）：設函數(shù)[f（x）=lnx-ax]，[e][-][c]其中a為實數(shù)。若[f（x）]在[1，+∞]上是單調(diào)減函數(shù)，且[g（x）]在[1，+∞]上有最小值，求[a]的取值范圍。

意圖：高考真題的出現(xiàn)，讓學生親身體會“原來這就是高考題”，怎么這么親切，并不是想象中的那么高大上，這有利于增強學生學習的信心，激發(fā)學好數(shù)學的興趣和動力。當然，通過高考真題更能夠讓學生從心態(tài)上重視用導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性、求最值時的方法步驟和細節(jié)要求。

變式3（2013北京卷）：設L為曲線[C：y=lnxx]在點（1，0）處的切線。

（1）求L的方程；

（2）證明：除切點（1，0）之外，曲線[C]在直線L的下方。

意圖：高考題并非無本之木，并不是專家們利用自己手中的權力和能力生編出來的。我們常常說高考題源于課本，函數(shù)[y=lnxx]就是一個很好的例證。變式3的一個目的是通過高考題讓學生知道這個事實從而重視課本，另一個目的則是讓學生正確理解問題中諸如“曲線C在直線L的下方” 這樣的數(shù)學語言。

一道看似普通的問題，涉及的兩個函數(shù)居然出現(xiàn)在兩個省份的高考真題中，這對學生的觸動有多大？通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術”，開拓學生解題思路，培養(yǎng)學生的探索意識，實現(xiàn)“以少勝多”，從而使一個題目延伸出一類題目，達到舉一反三、觸類旁通的目的。

三、以合作為基礎互動交流

相對教師“課霸”的獨角戲來說，“小組合作學習”的確有許多的優(yōu)越性。在數(shù)學習題教學中開展合作學習，往往會收到預期不到的驚喜。

問題3.設過點[P（2，1）]作直線l交[x]軸、[y]軸的正半軸于[A，B]兩點。

（1）當[ΔAOB]的面積最小時，求直線[l]的方程；

（2）當[PA?PB]取得最小值時，求直線[l]的方程。

這是在學習了直線方程之后我在習題課上提供給學生的一個探究性問題，當時的要求是學生自己先獨立研究10分鐘，然后小組交流或者合作10分鐘，最后由小組代表展示15分鐘，留給我5分鐘點評。

我這樣的設想是“既大膽又大方”的，因為同組的老師們往往會一節(jié)課“講完”很多問題，在這樣的環(huán)境中，我舍得把這么多的時間給學生，一節(jié)課只研究一個問題，無論在“見識面”上還是“進度”上都已經(jīng)趕不上別人了。然而，事實證明把課堂還給學生，讓學生通過合作來充當課堂主人的角色的做法不但沒有損失，反而取得了令人滿意的效果。下面是4個小組提供的解法，受篇幅限制過程省略。

小組1：設直線[l]方程為[y-1=k（x-2）（k<0）]，構建以[k]為變量的基本不等式。

小組2：設直線[l]方程為[xa+yb=1（a>0，b>0）]，消元后構建以a為變量的基本不等式。

小組3： 設直線[l]方程為[xa+yb=1（a>0，b>0）]，以整體思想構建以[a、b]為變量的基本不等式。

小組4：設[∠OAB=θ（θ∈（0，π2）]，構建以[θ]為變量的三角函數(shù)模型。

因為教師“主講”的課堂通常用一種方法把問題解決，而小組互助合作、交流分享的課堂給我們以多種視角的認識，方法的多樣性、思維的靈活性和容量的廣闊性是教師一人無法做到的。小組合作，互助交流給課堂教學注入了活力，它不僅充分發(fā)揮了師生間、生生間的相互交流、協(xié)作功能，而且還可以培養(yǎng)學生的合作意識、團隊精神，讓學生由被動變?yōu)橹鲃樱褌€人自學、小組交流、全班討論、教師指點等有機地結合起來，進而促使小組之間合作、競爭，激發(fā)了學習熱情，挖掘了個體學習潛能，增大了信息量，使學生在互補促進中共同提高，為枯燥的數(shù)學解題教學增添了熱情、活躍和靈動的氣氛。

責任編輯 李杰杰